[논문 리뷰] From optimal stopping boundaries to Rost's reversed barriers and the Skorokhod embedding

Tiziano De Angelis|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 11.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 35인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 브라운 운동에 대한 최적 정지 문제와 로스트의 스투크호프 임bedding 문제 해법 사이의 새로운 확률적 증명을 제시한다. 유한한 시간 범위 최적 정지 문제의 시간 역전 최적 정지 경계를 분석함으로써, 저자들은 이러한 경계가 로스트의 역전된 장벽을 이룬다는 것을 보이며, PDE나 점성 이론을 사용하지 않고 확률적 해석학을 통해 직접적인 연결을 수립한다. 또한 이 결과를 원자들을 포함한 측도로 확장한다.

ABSTRACT

We provide a new probabilistic proof of the connection between Rost's solution of the Skorokhod embedding problem and a suitable family of optimal stopping problems for Brownian motion with finite time-horizon. In particular we use stochastic calculus to show that the time reversal of the optimal stopping sets for such problems forms the so-called Rost's reversed barrier.

연구 동기 및 목표

• 유한한 시간 범위 최적 정지 문제와 스투크호프 임베딩 문제에 대한 로스트의 해법 사이의 직접적인 확률적 연결을 수립하기 위해.
• PDE나 점성 이론을 회피하고 오직 확률적 해석학만을 사용하여 이러한 연결에 대한 새로운 증명을 제공하기 위해.
• 맥카시널(2013)과 같은 이전 연구에서 제외된 원자들을 포함한 목표 측도 μ를 允許함으로써 이전 결과를 확장하기 위해.
• 최적 정지 문제에서 가치 함수와 그 시간 도함수의 정칙성(characterization)을 규명하기 위해.
• 최적 정지 집합의 시간 역전이 목표 측도 μ를 임베딩하는 로스트의 역전된 장벽이 된다는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 브라운 운동 B에 대해 수익 함수 G(x) = 2∫₀ˣ(Fₙᵤ(z) − Fₘᵤ(z))dz를 갖는 유한한 시간 범위 최적 정지 문제를 설정한다.
• 계속 집합 𝒞_T와 정지 집합 𝒟_T를 서로 보완으로 정의하며, 경계는 오른쪽 연속 단조 함수로 특징지운다.
• T > 0에 대해 {𝒟_T}의 가족을 [0, ∞)로 확장하여 시간 역전 정지 집합 𝒟⁻_∞를 구성한다.
• 시간 역전 집합 𝒟⁻_∞가 로스트의 역전된 장벽임을 증명한다. 즉, (t, Wₜ)가 𝒟⁻_∞에 처음으로 도달하는 시간 σ*에 대해 W_σ* ~ μ 임을 의미한다.
• 점유 시간 공식과 국소 시간 성질을 사용하여 가치 함수 V와 그 시간 도함수 V_t를 분석하며, V_t가 [0,T) × ℝ에서 연속임을 보인다.
• 모래화된 측도 μ_k를 갖는 근사 문제의 수렴성을 확보하여 원래 문제를 복원하고, 계속 집합이 한계 집합으로 수축함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PDE나 점성 이론을 사용하지 않고 오직 확률적 해석학만을 사용하여 최적 정지 문제와 로스트의 역전된 장벽 사이의 연결을 어떻게 증명할 수 있는가?
• RQ2 시간 역전은 최적 정지 경계를 로스트의 역전된 장벽으로 변환하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 이전 연구에서 다루었던 연속 케이스를 넘어서 원자들을 포함한 목표 측도 μ에 대해서도 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ4 값 함수 V_t는 계속 집합에서 흡수되는 브라운 운동의 전이 밀도와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 누적 분포 함수가 불연속적인 경우, 가치 함수 V와 그 도함수, 특히 V_t의 정칙성은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 유한한 시간 범위 최적 정지 문제의 최적 정지 집합의 시간 역전은 목표 측도 μ를 임베딩하는 로스트의 역전된 장벽을 이룬다.
• 값 함수 V_t는 [0,T) × ℝ에서 연속이며, 이는 전적으로 확률적 방법으로 증명된 결과로, 문헌에서 새로움이다.
• 시간 도함수 V_t는 계속 집합을 벗어나는 브라운 운동의 전이 밀도를 통해 확률적 표현을 갖는다.
• 원자들을 포함한 근사 측도 μ_k에 대해, 해당 계속 집합 𝒞_k는 감소하는 수열을 이뤄 원래 계속 집합 𝒞_T로 수렴한다.
• 원래 문제의 최적 정지 시간 τ*는 근사 문제의 최적 정지 시간 τ*ₖ들의 거의 확실한 극한이며, 임베딩의 수렴성을 보장한다.
• 이 구성은 원자들을 포함한 측도 μ로까지 확장되며, 연속 측도를 요구했던 맥카시널의 결과를 일반화한다.