[논문 리뷰] From quadratic Hamiltonians of polymomenta to abstract geometrical Maxwell-like and Einstein-like equations

Alexandru Oană, Mircea Neagu|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 20.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 이중 1-제트 공간을 사용하여 다중 시간 해밀턴 장 이론의 기하학적 프레임워크를 개발하며, 다각적 운동량의 이차 해밀토니안에서 추상적인 마ク스웰형 및 아인슈타인형 방정식을 유도한다. 비선형 및 카르탕 N-선형 접속의 정준형을 수립하여 곡률 기반의 장 방정식과 중력장 및 전자기장에 대한 일반화된 보존 법칙을 다중 시간 형식에서 도출한다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to create a large geometrical background on the dual 1-jet space J^{1*}(T,M) for a multi-time Hamiltonian approach of the electromagnetic and gravitational physical fields. Our geometric-physical construction is achieved starting only from a given quadratic Hamiltonian function of polymomenta H, which naturally produces a canonical nonlinear connection N, a canonical Cartan N-linear connection CΓ(N) and their corresponding local distinguished (d-) torsions and curvatures. In such a context, we construct some geometrical electromagnetic-like and gravitational-like field theories which are characterized by some natural geometrical Maxwell-like and Einstein-like equations. Some abstract and geometrical conservation laws for the multi-time Hamiltonian gravitational physical field are also given.

연구 동기 및 목표

• 이중 1-제트 공간 $J^{1*}( au, M)$를 사용하여 다중 시간 해밀턴 장 이론의 기하학적 기초를 구축하기 위해.
• 다각적 운동량의 이차 해밀토니안 함수로부터 정준 비선형 및 카르탕 $N$-선형 접속을 도출하기 위해.
• 다중 시간 설정에서 마크스웰의 방정식과 아인슈타인의 방정식에 유사한 추상적인 기하학적 장 방정식을 수립하기 위해.
• 다중 시간 중력장의 맥락에서 스트레스-에너지 d-텐서에 대한 일반화된 보존 법칙을 수립하기 위해.
• 제안된 기하학적 장 이론의 물리적 해석을 탐색하기 위해, 특히 중력과 전자기학에 대해.

제안 방법

• 이중 1-제트 공간 $E^* = J^{1*}( au, M)$ 위에서 크로네커 $h$-정칙 다중 시간 해밀토니안 함수 $H = h_{ab}(t)g^{ij}(t,x)p_i^a p_j^b + U_{(a)}^{(i)}(t,x)p_i^a + \tilde{F}(t,x)$ 를 정의하기 위해.
• 해밀토니안의 이阶 도함수를 통해 비선형 정준 접속 $N$ 과 카르탕 정준 $N$-선형 접속 $C\tilde{\nabla}(N)$ 을 구성하기 위해.
• 카르탕 접속의 국소 분리(지정된) 토크 및 지정된 곡률을 계산하여 기하학적 장 강도를 특성화하기 위해.
• 스칼라 곡률 $ \text{Sc}(C\tilde{\nabla}) $ 를 $ m = 1 $ 인 경우 $ R - S $ 과 $ m \neq 1 $ 인 경우 $ \tilde{\nabla} + R $ 으로 계산하기 위해, 여기서 $ R $ 은 리만 곡률이고 $ S $ 는 토크 스칼라이다.
• 스트레스-에너지 d-텐서 $ \tilde{\tau}_{AB} $ 와 곡률 불변량을 동일시하여 기하학적 아인슈타인형 방정식을 수립하기 위해, $ m = 1 $ 과 $ m \neq 1 $ 에 대해 별도의 형태를 가진다.
• 일반화된 보존 법칙 $ \tilde{\tau}_A^{B|B} = 0 $ 을 제안하고, 곡률 및 토크 성분에 대한 명시적 표현을 유도하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 1-제트 공간 위에서 다각적 운동량의 이차 해밀토니안이 정준 비선형 및 카르탕 $N$-선형 접속을 어떻게 생성할 수 있는가?
• RQ2 다중 시간 해밀토니안 프레임워크에서 마크스웰의 방정식과 아인슈타인의 방정식에 유사한 기하학적 장 방정식은 무엇인가?
• RQ3 카르탕 접속의 곡률 및 토크 성분이 전자기 유사 및 중력 유사 장 역학을 어떻게 코딩하는가?
• RQ4 이 다중 시간 기하학적 설정에서 스트레스-에너지 d-텐서에 대한 일반화된 보존 법칙은 무엇인가?
• RQ5 유도된 기하학적 장 방정식의 물리적 의미는 무엇이며, 특히 중력과 전자기학에 대해 어떻게 설명되는가?

주요 결과

• 정준 비선형 접속 $ N $ 과 카르탕 $ N $-선형 접속 $ C\tilde{\nabla}(N) $ 는 해밀토니안 $ H $ 의 이阶 도함수에 의해 완전히 결정되며, 특히 $ \frac{1}{2} \frac{\nabla^2 H}{\nabla p_i^a \nabla p_j^b} = h_{ab}(t)g^{ij}(t,x) $ 이다.
• 다음과 같이 $ m = \text{dim}(\tau) = 1 $ 인 경우, 카르탕 접속의 스칼라 곡률은 $ \text{Sc}(C\tilde{\nabla}) = R - S $ 이고, $ m \neq 1 $ 인 경우 $ \text{Sc}(C\tilde{\nabla}) = \tilde{\nabla} + R $ 이다.
• 다음과 같이 $ m = 1 $ 인 경우 기하학적 아인슈타인형 방정식은 $ R - S $, $ R_{ij} $, 및 $ S_{(i)(j)}^{(a)(b)} $ 를 포함하는 방정식계로 주어지며, $ \frac{R - S}{2} $ 는 스트레스-에너지 d-텐서 $ \tilde{\tau}_{AB} $ 에 곡률 결합으로 작용한다.
• 다음과 같이 $ m \neq 1 $ 인 경우 아인슈타인형 방정식은 $ \tilde{\nabla}_{ab} - \frac{\tilde{\nabla} + R}{2} h_{ab} = \tilde{\tau}_{ab} $ 를 포함하며, 공간 및 혼합 성분에 대해 유사한 형태를 가진다.
• 일반화된 보존 법칙은 $ \tilde{\tau}_A^{B|B} = 0 $ 으로 표현되며, 곡률 및 토크 성분의 코바리언트 도함수를 포함하는 명시적 형태를 가진다. 예를 들어 $ m = 1 $ 인 경우 $ \big[ \frac{R - S}{2} \big]_{/1} = R_{1|r}^r - P_{(r)1}^{(1)}|_{(1)}^{(r)} $ 이다.
• 일관성을 확보하기 위해 스트레스-에너지 d-텐서 $ \tilde{\tau} $ 의 특정 성분들이 사전에 0이 되어야 하며, 이는 기하학적 모델에서 물리적 제약 조건을 반영한다.