[논문 리뷰] From quadratic Hawkes processes to super-Heston rough volatility models with Zumbach effect

Aditi Dandapani, Paul Jusselin외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 13.

Point processes and geometric inequalities인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 가격 동역학에 이차 하크스 과정을 도입하여 강한 줌바흐 효과를 갖는 수퍼 헤스턴 거친 변동성 모델의 미세구조적 기반을 제안한다. 적절한 스케일링 하에서 한계 변동성 과정이 제곱근 항에 비하지만 비정상적인 배수를 통해 강화된 변동성 尾를 보이며, 과거 수익률에서 미래 변동성으로의 피드백을 명시적으로 유지함을 보여준다.

ABSTRACT

Using microscopic price models based on Hawkes processes, it has been shown that under some no-arbitrage condition, the high degree of endogeneity of markets together with the phenomenon of metaorders splitting generate rough Heston-type volatility at the macroscopic scale. One additional important feature of financial dynamics, at the heart of several influential works in econophysics, is the so-called feedback or Zumbach effect. This essentially means that past trends in returns convey significant information on future volatility. A natural way to reproduce this property in microstructure modeling is to use quadratic versions of Hawkes processes. We show that after suitable rescaling, the long term limits of these processes are refined versions of rough Heston models where the volatility coefficient is enhanced compared to the square root characterizing Heston-type dynamics. Furthermore the Zumbach effect remains explicit in these limiting rough volatility models.

연구 동기 및 목표

• 즉각적인 변동성의 제곱근 형태를 초월하여 강화된 형태로 변동성의 순간적 변동성을 제공하는 수퍼 헤스턴 거친 변동성 모델에 대한 미세구조적 정당성을 제공하기 위해.
• 과거 가격 추세가 미래 변동성에 직접적인 영향을 미치는 강한 줌바흐 효과를 엄밀한 미세구조적 가격 모델에 통합하기 위해.
• 기존의 하크스 기반 미세구조 모델을 확장하여 강도 과정에 이차 피드백 메커니즘을 도입함으로써 수익률 기반의 변동성 군집 현상을 캡처하기 위해.
• 이러한 모델의 장기적 극한이 과거 수익률에 대한 명시적 피드백을 유지하는 정교한 거친 헤스턴 유형의 동역학을 유도함을 보여주기 위해.
• 모수화된 과정이 수렴하여, 거친 경로 행동과 수학적으로 다룰 수 있는 형태의 줌바흐 효과를 유지하는 한계 거친 변동성 모델로 수렴함을 확립하기 위해.

제안 방법

• 점프 크기가 ±1인 조각별 일정 과정으로 가격 동역학을 모델링하고, 이는 이차 하크스 유형의 강도를 갖는 카운팅 과정 N에 의해 구동된다.
• 강도를 λₜ = μ + ∫₀ᵗ φ(t−s)dNₛ + Zₜ²로 정의하며, 여기서 Zₜ = ∫₀ᵗ k(t−s)dPₛ는 과거 수익률의 이동 평균으로서 작용하여 줌바흐 피드백을 코딩한다.
• 미세구조 모델에 시간 및 공간 스케일링(T → ∞)을 적용하여, 극한을 분석하기 위해 정규화된 과정 P*ᵀ, M*ᵀ, Λ*ᵀ를 도입한다.
• 부분적 적분과 수렴 결과(예: [27]의 보조정리 4.3)를 사용하여 커널 Fᵀ 및 Z*ᵀ 과정을 포함하는 스케일링된 적분의 균일 수렴을 보여준다.
• 버크홀더-데이비스-건디 부등식과 마틴갈 수렴 기법을 활용하여 확률적 적분 항이 분수 유형의 확산으로 수렴함을 증명한다.
• [36]의 정리 V-3.9를 적용하여 한계 마틴갈 M을 독립적인 브라운 운동에 대한 확률적 적분으로 표현함으로써, 정확한 변동성 동역학을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이차 하크스 과정 기반의 미세구조 모델이 강화된 변동성 꼬리(수퍼 헤스턴)를 갖는 거친 변동성 모델을 생성할 수 있으며, 동시에 강한 줌바흐 효과를 유지할 수 있는가?
• RQ2 하크스 강도에 이차 피드백 항(Zₜ²)을 포함시키는 것이 가격 과정의 스케일링 극한에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 한계 변동성 과정이 단순히 과거 변동성에 의존하는 것 외에도 과거 수익률에 의존하는 특성까지 포함하면서도, 거친 헤스턴 구조와 특이 커널을 유지하는가?
• RQ4 스케일링된 강도 과정의 점근적 행동은 어떠한가? 그리고 어떻게 한계 거친 변동성 모델로 수렴하는가? 이때 명시적인 줌바흐 피드백이 유지되는가?
• RQ5 강한 줌바흐 효과는 브라운 운동 간 상관관계에 의존하지 않고도 미세구조 모델에서 엄밀하게 유도될 수 있는가?

주요 결과

• 한계 변동성 과정 Vₜ는 수정된 변동성 계수를 갖는 거친 헤스턴 유형의 SDE를 만족한다: Vₜ = V₀ + ∫₀ᵗ (t−s)^(α−1) [θ₀(s) − Vₛ] ds + ∫₀ᵗ ν√Vₛ dWₛ, 여기서 변동성 계수 ν는 비정상적인 과정 (1 + Zₛ²)에 의해 강화된다.
• 줌바흐 효과는 극한에서 유지된다: 향후 변동성의 조건부 분포는 과거 수익률을 통해 과정 Zₜ² = ∫₀ᵗ k(t−s)dPₛ를 통해 명시적으로 의존한다.
• 스케일링된 마틴갈 항은 확률적으로 균일하게 분수 유형의 적분으로 수렴하며, 허스트 매개수 α − 1/2를 갖는 거친 경로 행동을 보장한다.
• 한계 과정 Xₜ는 거의 확실히 미분 가능하며, 그 도함수 Vₜ는 커널 f^(α,λ)와 피드백 항 (1 + Zₛ²)을 갖는 볼테라 유형의 적분으로 주어지며, 이는 수퍼 헤스턴 구조를 확인한다.
• 스케일링된 강도 과정의 수렴은 결정론적 및 확률적 적분의 균일 수렴을 통해 확립되며, 이는 커널의 L¹ 수렴과 마틴갈의 타이트니스에 기반한다.
• 최종 한계 모델은 거친 동역학과 수퍼 헤스턴 특성을 모두 갖는 변동성 과정을 제공하며, 줌바흐 피드백은 상태에 의존하는 배수 (1 + Zₛ²)에 의해 코딩되어 있어, 비정상적인 꼬리 변동성 역학의 미세기초를 제공한다.