[논문 리뷰] From repeated to continuous quantum interactions

Stéphane Attal, Yan Pautrat|ArXiv.org|2003. 11. 04.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 소형 시스템과 보조 시스템의 사슬과의 이산적이고 반복적인 양자 상호작용의 연속적 시간 근사로 양자 랭글레인 방정식을 엄밀하게 유도한다. 상호작용 해밀토니안에 순서 1, √h, h의 세 가지 서로 다른 시간 스케일을 도입함으로써, 극한 진화가 양자 확률 미분 방정식에 의해 지배됨을 보이며, 양자 광학 및 연속 측정에서 널리 사용되는 표준 양자 랭글레인 방정식을 추가적인 가정 없이 정당화한다.

ABSTRACT

We consider the general physical situation of a quantum system $\H_0$ interacting with a chain of exterior systems $\bigotimes_\N \H$, one after the other, during a small interval of time $h$ and following some Hamiltonian $H$ on $\H_0 \otimes \H$. We discuss the passage to the limit to continuous interactions ($h o 0$) in a setup which allows to compute the limit of this Hamiltonian evolution in a single state space: a continuous field of exterior systems $\otimes_{\R} \H$. Surprisingly, the passage to the limit shows the necessity for 3 different time scales in $H$. The limit evolution equation is shown to spontaneously produce quantum noises terms: we obtain a quantum Langevin equation as limit of the Hamiltonian evolution. For the very first time, these quantum Langevin equations are obtained as the effective limit from repeated to continuous interactions and not only as a model. These results justify the usual quantum Langevin equations considered in continual quantum measurement or in quantum optics. We show that the three time scales correspond to the normal regime, the weak coupling limit and the low density limit. Our approach allows to consider these two physical limits altogether for the first time. Their combination produces an effective Hamiltonian on the small system, which had never been described before. We apply these results to give an Hamiltonian description of the von Neumann measurement. We also consider the approximation of continuous time quantum master equations by discrete time ones. In particular we show how any Lindblad generator is obtained as the limit of completely positive maps.

연구 동기 및 목표

• 이산적이고 반복적인 양자 상호작용의 연속 근사로서 양자 랭글레인 방정식을 엄밀히 유도하는 것.
• 상호작용 해밀토니안에 세 가지 서로 다른 시간 스케일을 식별함으로써 약한 결합 근사와 저밀도 근사를 하나의 프레임워크 안에서 통합하는 것.
• 양자 랭글레인 방정식에 대한 해밀토니안 기반을 제공함으로써, 이들이 현상학적 모델로 간주되지 않도록 하는 것.
• 완전 양성 매핑의 이산적 완전 양성 진화가 리들란드 생성자로 수렴함을 보이며, 열린 양자 시스템과 기본 역학 간의 연결 고리를 제공하는 것.
• 프레임워크를 폰 뉴만 측정 모델에 적용하여 반복 상호작용 틀 안에서 양자 측정 과정의 해밀토니안 기반 기술을 제공하는 것.

제안 방법

• 시간 간격이 h인 동안 소형 시스템과 보조 시스템의 이산 사슬 간의 상호작용을, 각 쌍에 대해 고정된 해밀토니안 H를 사용하여 모델링한다.
• 이산 사슬을 ℝ⁺ 위의 연속적인 포크 장으로 통합함으로써, 단일 힐베르트 공간 내에서 h → 0의 극한을 취할 수 있도록 한다.
• 해밀토니안에 순서 1, √h, h의 세 가지 서로 다른 시간 스케일을 도입하여 비자명한 극한을 보장한다.
• 확장된 시스템에서 유니터리 진화를 사용하여 이산 동역학을 정의한 후, 하이젠베르크 진화의 수렴성을 증명하고, 이가 양자 확률 미분 방정식의 해임을 보인다.
• 양자 확률 미적분학(Hudson-Parthasarathy)을 사용하여 극한 진화를 양자 랭글레인 방정식으로 기술한다.
• 이산 진화 매핑이 리들란드 생성자로 수렴하는 조건을 확립하며, 임의의 리들란드 생성자가 이러한 극한으로서 나타남을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본 해밀토니안 역학에 기반하여 양자 랭글레인 방정식는 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 비자명한 연속 근사를 얻기 위해 상호작용 해밀토니안에 필요한 재규합 조건은 무엇인가?
• RQ3 약한 결합 근사와 저밀도 근사는 어떻게 통합된 프레임워크 안에서 동시에 도출되는가?
• RQ4 표준 리들란드 마스터 방정식은 이산적, 유니터리, 완전 양성 진화의 극한으로서 도출될 수 있는가?
• RQ5 이 반복 상호작용 틀 안에서 폰 뉴만 측정 과정의 해밀토니안 기반 기술은 무엇인가?

주요 결과

• 연속 근사로의 전환은 상호작용 해밀토니안에 순서 1, √h, h의 세 가지 서로 다른 시간 스케일이 필요하다.
• 극한 진화는 양자 확률 미분 방정식(양자 랭글레인 방정식)으로 기술되며, 추가적인 가정 없이도 해밀토니안 역학으로부터 자연스럽게 도출된다.
• 얻어진 양자 랭글레인 방정식은 양자 광학 및 연속 측정에서 널리 사용되는 표준 형태이며, 자발적 방출을 위한 위그너-바이스코프 모델과 같은 예시를 포함한다.
• 상호작용 행렬이 적절한 스케일링 조건을 만족할 경우, 임의의 리들란드 생성자는 이산적 완전 양성 매핑의 극한으로서 나타난다.
• 이산 진화가 연속 진화로 수렴하는 것은 강한 연산자 위상에서 성립하며, 하이젠베르크 진화의 약한 수렴을 암시한다.
• 이 프레임워크는 반복 상호작용 틀을 통해 폰 뉴만 측정 과정의 해밀토니안 기반 기술을 제공하며, 연속 관측이 어떻게 반복 상호작용으로부터 도출되는지를 보여준다.