[논문 리뷰] From Subfactors to Categories and Topology I. Frobenius algebras in and Morita equivalence of tensor categories

Michael Mueger|ArXiv.org|2001. 11. 19.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 54인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 텐서 범주에서 프로베누스 대수를 도입하고, 모든 프로베누스 대수가 이중 범주적 구조를 통해 유도됨을 증명함으로써, 부분군 이론과 텐서 범주 간의 범주론적 프레임워크를 수립한다. 주요 기여는 약한 모노이드 모리타 동치의 정의로, 이는 양자 이중체와 상태 합 불변량의 동치를 암시하며, 부분군 이론과 양자 위상(field) 이론을 통합한다.

ABSTRACT

We consider certain categorical structures that are implicit in subfactor theory. Making the connection between subfactor theory (at finite index) and category theory explicit sheds light on both subjects. Furthermore, it allows various generalizations of these structures, e.g. to arbitrary ground fields, and the proof of new results about topological invariants in three dimensions. The central notion is that of a Frobenius algebra in a tensor category A, which reduces to the classical notion if A=F-Vect, where F is a field. An object X in A with two-sided dual X^ gives rise to a Frobenius algebra in A, and under weak additional conditions we prove a converse: There exists a bicategory E with Obj(E)={X,Y} such that End_E(X,X) is equivalent to A and such that there are J: Y->X, J^: X->Y producing the given Frobenius algebra. Many properties (additivity, sphericity, semisimplicity,...) of A carry over to E. We define weak monoidal Morita equivalence (wMe) of tensor categories and establish a correspondence between Frobenius algebras in A and tensor categories B wMe A. While considerably weaker than equivalence of tensor categories, weak monoidal Morita equivalence of A and B implies (for A,B semisimple and spherical or *-categories) that A and B have the same dimension, braided equivalent `center' (quantum double) and define the same state sum invariants of closed oriented 3-manifolds as defined by Barrett and Westbury. If H is a finite dimensional semisimple and cosemisimple Hopf algebra then H-mod and H^-mod are wMe. The present formalism permits a fairly complete analysis of the quantum double of a semisimple spherical category, which is the subject of the companion paper math.CT/0111205.

연구 동기 및 목표

• 유한 지수 부분군 이론의 기초가 되는 범주론적 구조를 텐서 범주를 통해 형식화하기.
• 임의의 텐서 범주에서 프로베누스 대수를 정의하고 연구함으로써, 체 위의 고전적 프로베누스 대수를 일반화하기.
• 텐서 범주 A 내의 프로베누스 대수와 약한 모노이드 모리타 동치 범주 B ≈ A 사이의 대응관계를 수립하기.
• 약한 모노이드 모리타 동치가 3-다양체에서 양자 이중체와 상태 합 불변량의 동치를 암시함을 보여주기.
• 저차원 위상수학에서 모듈라 불변량과 위상 불변량을 이해하기 위한 범주론적 기초 제공하기.

제안 방법

• 텐서 범주 A 내에서 프로베누스 대수를 유도하기 위한 조건: (m ⊗ id) ◦ (id ⊗ Δ) = Δ ◦ m = (id ⊗ m) ◦ (Δ ⊗ id).
• 두 개의 대상 A와 B를 가진 이중 범주 E를 구성하여, End_E(A) ≃ A 이고, A와 B 사이의 수반 함자들이 주어진 프로베누스 대수를 실현하도록 하기.
• 약한 모노이드 모리타 동치 A ≈ B를, A 내의 프로베누스 대수 Q가 존재하여 B ≃ Q-mod-Q임을 의미하도록 정의하기.
• 약한 모노이드 모리타 동치가 핵심 불변량을 유지함을 증명: 양자 이중체(중심)는 브레이드된 텐서 범주로서 동치임을 보여주기.
• 강한 범주와 쌍대를 이용하여, 강한 A-대수들이 A 내의 프로베누스 대수들과 동치임을 보여주기.
• 옥네아누의 파라군 및 롱고의 Q-시스템 이론의 결과를 활용하여, 범주론적 구성의 동기를 제공하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 텐서 범주 내의 프로베누스 대수를 어떻게 사용하여, 이중 범주적 구조(예: 수반 함자가 존재하는 이중 범주)를 재구성할 수 있는가?
• RQ2 약한 모노이드 모리타 동치의 범주론적 특성은 무엇이며, 부분군 이론과 어떤 관계가 있는가?
• RQ3 약한 모노이드 모리타 동치가 양자 이중체와 상태 합 불변량의 동치를 암시하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 반단순 스피어칼 범주에서 중심을 이 Formalism을 통해 완전히 기술할 수 있는가?
• RQ5 이중 범주 E의 구성은 얀아가미 또는 올스트릭의 기존 결과와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 텐서 범주 A 내의 모든 프로베누스 대수는 두 개의 대상 A와 B를 가진 이중 범주 E에서 유도되며, A와 B 사이에는 수반 함자가 존재한다.
• 약한 모노이드 모리타 동치 A ≈ B는 A 내의 프로베누스 대수 Q가 존재하여 B ≃ Q-mod-Q임을 의미한다.
• A와 B가 약하게 모노이드적으로 모리타 동치이면, 그들의 양자 이중체(중심)는 브레이드된 텐서 범주로서 동치이다.
• 반단순 스피어칼 범주에 대해서는, 약한 모노이드 모리타 동치가 A와 B가 동일한 상태 합 불변량을 갖는다고 암시한다. 이는 닫힘으로서의 온전한 3-다양체에 대해 성립한다.
• 이 구성은 기존 결과를 복원한다. 예를 들어, 유한 차원 반단순이자 코반단순인 호프 대수 H에 대해 H-mod ≈ Ĥ-mod 이다.
• 이 형식은 반단순 스피어칼 범주의 중심을 완전히 기술할 수 있으며, 이는 동반 논문에서 개발된 바와 같다.