[논문 리뷰] From Subfactors to Categories and Topology II. The quantum double of tensor categories and subfactors

Michael Mueger|ArXiv.org|2001. 11. 19.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 대수적으로 닫힌 체 위의 임의의 유한차원 반단순 구면 텐서 범주로 양자 이중 구성법을 일반화한다. 중심 ${\cal Z}({\cal C})$가 차원 $(\dim{\cal C})^2$를 갖는 모듈러 범주임을 증명하고, ${\cal Z}({\cal C})$와 ${\cal C} \otimes {\cal C}^{\mathrm{op}}$ 사이의 모리타 동치를 확립하며, 토러스 TQFT 상태 공간 차원과 일치하는 ${\cal Z}({\cal C})$의 단순 대상 수에 대한 겔판트–카즈단 추측을 검증한다.

ABSTRACT

We are concerned with the center (=quantum double) of tensor categories and prove generalizations of several results proven previously for quantum doubles of Hopf algebras. We consider F-linear tensor categories C with simple unit and finitely many isomorphism classes of simple objects. We assume that C is either a *-category (i.e. there is a positive *-operation on the morphisms) or semisimple and spherical over an algebraically closed field F. In the latter case we assume that dim C=sum_i d(X_i)^2 is non-zero, where the summation runs over the isomorphism classes of simple objects. We prove: (i) Z(C) is a semisimple spherical (or *-) category. (ii) Z(C) is weakly monoidally Morita equivalent (in the sense of math.CT/0111204) to C X C^op. This implies dim Z(C)=(dim C)^2. (iii) We analyze the simple objects of Z(C) in terms of certain finite dimensional algebras, of which Ocneanu's tube algebra is the smallest. We prove the conjecture of Gelfand and Kazhdan according to which the number of simple objects of Z(C) coincides with the dimension of the state space H_{S^1 imes S^1} of the torus in the triangulation TQFT built from C. (iv) We prove that Z(C) is modular and we compute the Gauss sums Delta_+/-(Z(C))=sum_i theta(X_i)^{+/- 1}d(X_i)^2=dim C. (v) Finally, if C is already modular then Z(C)\simeq C X C~, where C~ is the tensor category C with the braiding c~_{X,Y}=c_{Y,X}^{-1}.

연구 동기 및 목표

• 양자 이중 구성법을 유한차원 호프 대수에서 일반적인 반단순 구면 텐서 범주로 확장하는 것.
• 이러한 범주 ${\cal C}$의 중심 ${\cal Z}({\cal C})$가 모듈러 범주임을 증명하는 것.
• ${\cal Z}({\cal C})$와 ${\cal C} \otimes {\cal C}^{\mathrm{op}}$ 사이의 약한 모리타 동치를 확립하여 $\dim{\cal Z}({\cal C}) = (\dim{\cal C})^2$를 이끌어내는 것.
• 겔판트–카즈단 추측을 검증하는 것: ${\cal Z}({\cal C})$의 단순 대상 수가 TQFT 상태 공간 차원과 일치한다.
• ${\cal Z}({\cal C})$의 가우스 합 $\Delta_{\pm}({\cal Z}({\cal C}))$를 계산하고, 그것이 $\dim{\cal C}$와 같음을 보이는 것.

제안 방법

• 텐서 범주 ${\cal C}$의 중심 ${\cal Z}({\cal C})$를 드린펠트 중심 공리에 만족하는 자연동형사슬을 갖는 브레드 범주로 정의한다.
• ${\cal Z}({\cal C})$의 $S$-행렬을 $\bigoplus_{i,j} \mathrm{Hom}_{\cal C}(X_i X_j, X_j X_i)$ 위의 벡터 공간 동형사상 ${\mathfrak{S}}$로 표현한다.
• 구면성과 쌍대성을 활용하여 ${\mathfrak{S}}$가 순서 4의 동형사상임을 보이고, 내부환의 중심을 유지함을 보인다.
• 단순 대상 $(X,e_X)$에 대해 $d(X)^{-1} z_{(X,e_X)}$를 사용하여 $S$-행렬의 고유벡터 기저를 구성한다.
• 쌍대성 공식과 추적 성질을 적용하여 ${\mathfrak{S}}$를 통한 $S$-행렬의 행렬 원소를 계산한다.
• 가우스 합 공식 $\Delta_{\pm}({\cal Z}({\cal C})) = \sum_i \theta(X_i)^{\pm 1} d(X_i)^2$를 사용하고, 그것이 $\dim{\cal C}$와 같음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반단순 구면 텐서 범주 ${\cal C}$의 중심 ${\cal Z}({\cal C})$는 모듈러 범주인가?
• RQ2 ${\cal Z}({\cal C})$의 차원이 $\dim{\cal Z}({\cal C}) = (\dim{\cal C})^2$를 만족하는가?
• RQ3 ${\cal Z}({\cal C})$의 단순 대상 수가 ${\cal C}$에서 유도된 TQFT의 토러스 상태 공간 차원과 같은가?
• RQ4 ${\cal Z}({\cal C})$의 가우스 합 $\Delta_{\pm}({\cal Z}({\cal C}))$가 $\dim{\cal C}$와 같은가?
• RQ5 ${\cal Z}({\cal C})$는 ${\cal C} \otimes {\cal C}^{\mathrm{op}}$와 약한 모리타 동치인가?

주요 결과

• ${\cal C}$가 대수적으로 닫힌 체 위에서 유한차원이고 비퇴화된 차원을 갖는 반단순 구면 텐서 범주일 경우, 중심 ${\cal Z}({\cal C})$는 모듈러 범주이다.
• ${\cal Z}({\cal C})$의 차원은 정확히 $(\dim{\cal C})^2$이며, 이는 ${\cal C} \otimes {\cal C}^{\mathrm{op}}$와의 약한 모리타 동치를 통해 증명된다.
• ${\cal Z}({\cal C})$의 가우스 합은 $\Delta_{+}({\cal Z}({\cal C})) = \Delta_{-}({\cal Z}({\cal C})) = \dim{\cal C}$를 만족한다.
• ${\cal Z}({\cal C})$의 단순 대상 수는 ${\cal C}$에서 구성된 삼각분할 TQFT의 토러스 상태 공간 차원과 일치하며, 겔판트–카즈단 추측을 확인한다.
• ${\cal C}$가 이미 모듈러일 경우, ${\cal Z}({\cal C}) \simeq_{\mathrm{br}} {\cal C} \otimes \tilde{{\cal C}} \simeq_{\mathrm{br}} {\cal C} \otimes {\cal C}^{\mathrm{op}}$가 되며, 여기서 $\tilde{{\cal C}}$는 브레딩을 반대로 한 ${\cal C}$이다.