[논문 리뷰] From the Black-Karasinski to the Verhulst model to accommodate the unconventional Fed's policy

Andrey Itkin, Alexander Lipton외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 21.

Complex Systems and Time Series Analysis인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비정상 통화정책 하에서 장기적인 저금리 제도를 더 잘 반영하기 위해 로그정규분포 금리 역학을 로지스틱(베르훌스트) 과정으로 대체한 수정된 블랙-카라신스키 모델, 즉 베르훌스트(또는 MBK) 모델을 제안한다. 이 모델은 온건한 가정 하에 콜드 콜드 채권 가격에 대해 닫힌 형태의 해를 제공하며, 특히 단기 만기에서 유한차분법 및 몬테카를로 방법에 비해 뛰어난 계산 효율성과 정확도를 보인다.

ABSTRACT

In this paper, we argue that some of the most popular short-term interest models have to be revisited and modified to reflect current market conditions better. In particular, we propose a modification of the popular Black-Karasinski model, which is widely used by practitioners for modeling interest rates, credit, and commodities. Our adjustment gives rise to the stochastic Verhulst model, which is well-known in the population dynamics and epidemiology as a logistic model. We demonstrate that the Verhulst model's dynamics are well suited to the current economic environment and the Fed's actions. Besides, we derive new integral equations for the zero-coupon bond prices for both the BK and Verhulst models. For the BK model for small maturities up to 2 years, we solve the corresponding integral equation by using the reduced differential transform method. For the Verhulst integral equation, under some mild assumptions, we find the closed-form solution. Numerical examples show that computationally our approach is significantly more efficient than the standard finite difference method.

연구 동기 및 목표

• 비정상 통화정책 하에서 장기간의 저금리 또는 음수 금리 상태를 반영하지 못하는 전통적인 단기금리 모델(예: 블랙-카라신스키)의 한계를 해결하기 위해.
• 현재 시장 조건을 반영하는 바탕이 되는, 더 다루기 쉽게 구조화된 모델을 개발하여 금리 분포의 하단부에 두꺼운 尾(테일)를 가지도록 하기 위해.
• 수정된 모델에서 콜드 콜드 채권(ZCB) 가격에 대한 적분 방정식을 유도하고, 특정 가정 하에 닫힌 형태의 해를 제공하기 위해.
• 유한차분법 및 몬테카를로 방법에 비해 분석적 접근의 계산 성능이 ZCB 가격 산정에서 어떻게 뛰어나게 되는지 입증하기 위해.

제안 방법

• 블랙-카라신스키 모델의 평균회귀 역학을 시간에 따라 변하는 평균회귀 수준과 상태 변수의 지수함수의 차이에 비례하는 드리프트 항을 갖는 로지스틱(베르훌스트) 과정으로 대체한다.
• 단기금리를 $ r_t = s(t) + R e^{z_t} $ 로 변환하여 비음성 보장과 결정론적 이동 가능성을 부여한다.
• 상태 변수의 특성함수를 기반으로 ZCB 가격에 대한 적분 방정식을 유도하여 일반적인 경우에 수치적 적분이 가능하도록 한다.
• 단기 만기(2년 이내)에 대해서는 적분 방정식을 효율적으로 해결하기 위해 감소된 미분변환법을 적용한다.
• 시간에 따라 변하는 변동성 $ \sigma(t) = \sqrt{\sigma_a + \sigma_b / (t + \sigma_c)} $ 이며, $ \sigma_b < 0 $ 이고 $ \kappa(t) $ 가 일정하다는 가정 하에 ZCB 가격에 대해 닫힌 형태의 해를 도출한다.
• 해석적 해를 위해 윌리암슨 함수와 복소수 감마 함수를 사용하며, 평가를 위해 시뮬슨의 법칙을 통한 수치적 적분을 시행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 블랙-카라신스키 모델은 어떻게 수정되어 현재의 지속적인 저금리 또는 음수 금리 환경을 더 잘 반영할 수 있는가?
• RQ2 금리 분포 하단부에 두꺼운 꼬리가 존재하는 확률과정을 다루기 쉬운 금리 모델에 통합할 수 있는가?
• RQ3 제안된 베르훌스트 기반 모델은 합리적인 가정 하에 콜드 콜드 채권 가격에 대해 닫힌 형태의 해를 도출할 수 있는가?
• RQ4 ZCB 가격 산정에서 분석적 방법의 계산 성능은 유한차분법 및 몬테카를로 방법에 비해 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 수정된 베르훌스트(MBK) 모델은 로지스틱 평균회귀 항을 도입함으로써 블랙-카라신스키 모델보다 더 두꺼운 왼쪽 꼬리를 만들어내어 장기적인 저금리 제도를 성공적으로 반영한다.
• 단기 만기(2년 이내)에 대해 감소된 미분변환법을 사용할 경우 ZCB 가격에 대한 적분 방정식을 55ms 내에 해결하며, 속도와 정확도 면에서 유한차분법(130ms)을 능가한다.
• 시간에 따라 변하는 변동성과 일정한 평균회귀 조건 하에 ZCB 가격에 대해 닫힌 형태의 해를 도출함으로써 더 빠르고 정확한 가격 산정이 가능해진다.
• 해석적 공식의 수치적 적분을 통해 2년 이내 만기에서는 유한차분법 대비 상대 오차가 0.3 bps 이하, 몬테카를로 대비 0.3 bps 이하로 유지되며, 50년 만기에서는 각각 8.78 bps(유한차분법 대비) 및 36.94 bps(몬테카를로 대비)로 증가하지만, 단기 만기에서는 더 높은 정확도를 확보한다.
• 분석적 방법은 고차수 적분 규칙을 사용할 경우 높은 정확도와 계산 효율성을 유지하며, 장기 만기에서는 특히 유한차분법에 비해 더 유연하고 확장성이 뛰어나다.