[논문 리뷰] Full linear Phan-Thien--Tanner fluid model: Exact analytical solutions for steady, start-up, and cessation regimes of shear and extensional flows

D. Shogin|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 12.

Rheology and Fluid Dynamics Studies참고 문헌 38인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 선형 Phan-Thien–Tanner (LPTT) 유체의 모든 물성 함수—정 steady, 시작 및 정지 상태—에 대해 처음으로 완전히 명시적이고 해석적인 해를 제시한다. 이는 비틀림, 평면, 축방향, 이축 방향 유동을 포함한 모든 세 종류의 비틀림 유동에 대해 적용된다. 새로운 스케일링 절차를 통해 모델의 네 개 매개변수(η₀, λ, ε, ξ)를 하나의 무차원 매개변수로 감소시킴으로써, 장기간의 혼란을 해결하고 비틀림 점성도 곡선의 모호함을 제거하며, 일시적 유동에서의 응력 초과 및 과소 현상까지 완전히 특성화한 실수값의 간결한 표현식을 도출한다. 이는 진동 동역학과 그 진폭 및 시기까지 정량화한다.

ABSTRACT

Exact, fully explicit, purely real analytical expressions for the material functions describing steady, startup, and cessation regimes of shear flows and of planar, uniaxial, and biaxial extensional flows of full linear Phan-Thien--Tanner fluids are obtained. These expressions, which have no analogs in the literature, are formulated in compact, beautiful forms, partially due to the unique scaling procedure reducing the number of the model parameters from four to one. The properties of the material functions are investigated in detail. For steady extensional flows, the possible shapes of the extensional viscosity curves are described and the conditions for these shapes to occur are determined. For startup flows, it is found when exactly the stress dynamics is oscillatory, and, in this case, a detailed characterization of oscillations is given, which includes expressions for the position and magnitude of stress overshoots and undershoots.

연구 동기 및 목표

• 모든 표준 rheometric 유동에서 전체 선형 Phan-Thien–Tanner (LPTT) 유체의 모든 물성 함수에 대해 정확하고 완전히 명시적인 해석적 표현식을 제공하는 것.
• 이전에 암시적 또는 근사적 형식이 필요로 했던, LPTT 모델의 비틀림 점성도 곡선에 오랫동안 존재해 온 모호함을 해결하는 것.
• 기존에 정성적으로만 연구되었던, 시작 및 정지 상태 흐름에서의 일시적 응력 동역학, 특히 진동 행동, 응력 초과 및 과소 현상을 완전히 특성화하는 것.
• 이전의 단순화된 LPTT 모델에 대한 결과들을 통합하고 일반화하여, 모든 물리적으로 타당한 매개변수 값에 대해 유효한 완전하고 매개변수 기반의 해석적 프레임워크를 구축하는 것.

제안 방법

• 네 개의 LPTT 모델 매개변수(η₀, λ, ε, ξ)를 하나의 무차원 매개변수로 감소시키는 새로운 스케일링 절차를 사용하여, 정 steady 및 일시적 비틀림 및 비틀림 유동에 대해 정확한 해석적 해를 유도한다.
• 무차원 변수를 적용하여 정 steady 유동의 응력-변형률률 관계 및 일시적 유동의 응력 변화를 기술하는 제어 방정식을 수립한다.
• 단조 증가 함수의 역함수 계산 및 삼차 및 사차 방정식의 해법과 같은 고급 해석 기법을 사용하여 비선형 미분 방정식계를 해결한다.
• 응력 응답이 삼각함수(진동형), hyperbolic 또는 지수형 형태를 띄는지 여부를 결정하는 임계 매개변수 영역을 판별하기 위해 판별식과 부호 분석을 적용한다.
• 시작 유동에서 응력 과소 현상을 분석할 때 발생하는 초월 방정식을 해결하기 위해 Lambert W 함수를 사용한다.
• 모든 해석적 결과를 Wolfram Mathematica 를 사용하여 수치적으로 검증하였으며, 보완 자료로 전체 검증 코드를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전체 선형 PTT 유체의 정 steady 평면, 축방향, 이축 비틀림 유동에서 비틀림 점성도와 정규 응력 차이의 정확한, 완전히 명시적인 해석적 표현식은 무엇인가?
• RQ2 시작 및 정지 상태 유동에서 응력 응답이 진동형을 띠는 조건는 무엇이며, 응력 초과 및 과소의 정확한 위치와 크기는 무엇인가?
• RQ3 비틀림 점성도 곡선의 형태는 모델 매개변수에 따라 어떻게 달라지며, 서로 다른 곡선 형태를 나누는 정확한 매개변수 임계값은 무엇인가?
• RQ4 특히 진동 응력 응답에 대해 근사나 수치적 해법 없이도 전체 LPTT 모델의 일시적 거동을 해석적으로 특성화할 수 있는가?
• RQ5 친화도 매개변수 ξ 는 응력 진화의 성격을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가? 그리고 응력 증가 및 감소에서 진동의 발생 여부에 어떻게 영향을 주는가?

주요 결과

• 이 논문은 선형 PTT 유체의 비틀림 및 모든 세 종류의 비틀림 유동에서 모든 물성 함수에 대해 처음으로 완전히 명시적이고 순수 실수값의 해석적 표현식을 도출하였으며, 암시적 또는 모호한 표현이 전혀 없다.
• 정 steady 비틀림 유동에서, 비틀림 점성도 곡선의 가능한 모든 형태(단조 증가, 최대값이 있는 비단조, 최소값이 있는 형태)를 식별하고 각 형태가 나타나는 정확한 매개변수 조건을 제공한다.
• 시작 비틀림 및 비틀림 유동에서, 응력 동역학이 진동형을 띠는 정확한 조건을 규명하였으며, 응력 초과 및 과소의 시간과 크기를 위한 닫힌 형식의 표현식을 제공한다.
• 분석 결과, 응력 과소 현상은 비틀림 및 평면 비틀림 유동에서만 발생하며, 그 깊이는 Lambert W 함수를 포함하는 식을 통해 정량적으로 특성화된다.
• 이전의 비틀림 점성도 표현에서의 모호함을 해결하기 위해, 각 매개변수 조합에 대해 유일한 물리적으로 의미 있는 해가 존재하며, 그 정확한 해석적 형태를 제공한다.
• 저자들은 비틀림 유동의 제어 방정식에서 실근의 수가 확장성 매개변수 ε 과 유동 유형에 따라 크게 달라지며, 이축 비틀림 유동의 경우 임계 임계값 ε = 1/3 에서 변화가 일어남을 보여주었다.