[논문 리뷰] Full vertex algebra and bootstrap -- consistency of four point functions in 2d CFT

Yuto Moriwaki|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 29.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 2차원 conformal field theory(CFT)에서 네점 상관 함수의 일관성(formalize)을 수학적으로 기술하기 위해 $\eta$-등급의 vertex algebra의 실해석적 일반화인 '완전한 꼭짓점 대수(fully vertex algebra)'라고 불리는 수학적 프레임워크를 제안한다. 부트스트랩 방정식과 conformal 대칭성으로부터 완전한 꼭짓점 대수의 구조를 도출함으로써, 저자들은 부트스트랩 조건이 임의의 연산자 곱 전개(operator product expansion) 하에서 네점 상관 함수의 일관성을 보장함을 증명한다. 또한 토로이드형 끈(compactification)로부터 유도되는 변형 가능한 완전한 꼭짓점 대수의 가족을 명시적으로 구성한다.

ABSTRACT

In physics, it is believed that the consistency of two dimensional conformal field theory follows from the bootstrap equation. In this paper, we introduce the notion of a full vertex algebra by analyzing the bootstrap equation, which is a "real analytic" generalization of a $\mathbb{Z}$-graded vertex algebra. We also give a mathematical formulation of the consistency of four point correlation functions in two dimensional conformal field theory and prove it for a full vertex algebra with additional assumptions on the conformal symmetry. In particular, we show that the bootstrap equation together with the conformal symmetry implies the consistency of four point correlation functions. As an application, a deformable family of full vertex algebras parametrized by the Grassmanian is constructed, which appears in the toroidal compactification of string theory. This give us examples satisfying the above assumptions.

연구 동기 및 목표

• 2차원 conformal field theory에서 네점 상관 함수의 일관성에 대한 수학적 공식화를 수립하기 위해.
• 부트스트랩 방정식에서 직접 유도된 실해석적 일반화로서 완전한 꼭짓점 대수를 정의하기 위해.
• 부트스트랩 방정식과 conformal 대칭성의 조합이 임의의 연산자 곱 전개 하에서 네점 상관 함수의 일관성을 암시함을 증명하기 위해.
• 끈 이론에서 토로이드 compactification으로부터 유도되는 Grassmannian에 의해 매개변수화된 변형 가능한 완전한 꼭짓점 대수의 가족을 구성하기 위해.

제안 방법

• 네점 상관 함수를 표현하기 위해 실해석 함수의 공간 $\mathrm{Cor}_4$ 를 도입한다.
• 이진 트리와 연산자 곱 전개에 관련된 괄호가 친 상관 함수 $S_A$ 를 정의하며, 형식적 변수 $x_i = z_i - z_j$ 를 사용한다.
• 트리 기반의 재귀적 방법을 통해 각 괄호화에 대응하는 변수와 수렴 영역을 할당하여 특정 영역에서의 해석성을 보장한다.
• 부트스트랩 방정식—모노드로미 불변 조건으로 표현된 것—이 다양한 연산자 순서 선택에 걸쳐 $S_A$ 의 일관성을 암시함을 증명한다.
• 격자 꼭짓점 대수의 변형을 통해 Grassmannian에 의해 매개변수화된 완전한 꼭짓점 대수의 가족을 구성하며, 필요한 대칭성과 해석성 조건을 만족시킨다.
• 부정성된 바와 같이, $S_A$ 가 특정 수렴 영역에서 정의된 전역 실해석 함수 $\phi(z_1,\dots,z_n)$ 의 전개와 일치함을 검증한다. 이는 $n \leq 4$ 및 진공 삽입이 있는 $n=5$ 에서 성립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 CFT에서 네점 상관 함수의 일관성은 실해석적 대수적 구조를 통해 엄밀하게 공식화되고 증명될 수 있는가?
• RQ2 부트스트랩 방정식과 conformal 대칭성이 조합될 경우, 네점 상관 함수가 연산자 순서에 의존하지 않는가?
• RQ3 완전한 꼭짓점 대수는 vertex algebra에 의존하지 않고 정의될 수 있으며, 그 공리에서 자연스럽게 해석적 및 반해석적 부분대수가 유도되는가?
• RQ4 완전한 꼭짓점 대수의 프레임워크는 토로이드 compactification으로부터 유도되는 CFT의 변형 가능한 가족을 구성할 수 있는가?
• RQ5 주어진 이진 트리 $A$ 에 대해 괄호가 친 상관 함수 $S_A$ 는 특정 도메인에서 정의된 전역 실해석 함수 $\phi$ 의 전개와 동일한가?

주요 결과

• 부트스트랩 방정식과 conformal 대칭성의 조합은 완전한 꼭짓점 대수의 프레임워크 하에서 임의의 연산자 곱 전개 하에서 네점 상관 함수의 일관성을 암시한다.
• 완전한 꼭짓점 대수는 $\mathbb{Z}$-등급의 꼭짓점 대수의 실해석적 일반화이며, 그 공리에서 자연스럽게 해석적 및 반해석적 부분대수가 도출된다.
• $n \leq 4$ 및 진공 삽입이 있는 $n=5$ 에서, 괄호가 친 상관 함수 $S_A$ 는 특정 수렴 영역에서 정의된 전역 실해석 함수 $\phi(z_1,\dots,z_n)$ 의 전개와 일치한다.
• 격자 꼭짓점 대수의 변형을 통해 Grassmannian에 의해 매개변수화된 완전한 꼭짓점 대수의 변형 가능한 가족이 구성되며, 이는 토로이드 끈 compactification으로부터 유도된 비유일 CFT를 모델링한다.
• 변수 치환 $x_i = z_i - z_j$ 는 트리의 구조에서 체계적으로 도출되며, 수렴 영역은 후속 노드에 대해 $|x_k| > |x_i|$ 를 만족하는 계층적 거리 조건에 의해 결정된다.
• 부정성된 바와 같이, $S_A$ 가 실해석 함수 $\phi$ 의 전개임을 증명하였으며, 이는 $n \leq 4$ 및 진공 삽입이 있는 $n=5$ 에서 성립한다. 이는 핵심적인 일관성 검증을 제공한다.