[논문 리뷰] Fully-Discrete Finite Element Approximations for a fourth-order linear stochastic parabolic equation with additive space-time white noise: II. 2D and 3D Case

Georgios T. Kossioris, Georgios E. Zouraris|ArXiv.org|2009. 06. 09.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 25인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 두 차원 및 세 차원에서 공간-시간 백색 잡음이 첨가된 제4형 선형 스토크라스틱 포아르비크 편미분방정식에 대한 완전 이산 유한요소 근사법을 제시한다. 공간에 $C^1$-연속 유한요소를, 시간에 후진 오일러 방법을 사용하여 강한 사전 오차 추정을 수립하고, 잡음과 해의 정규성 조건 하에서 공간에서 $Ø(h^{\nu(r,d)-\epsilon})$ 및 시간에서 $Ø(\Delta\tau^{\frac{4-d}{8}-\epsilon})$ 수렴 속도를 증명한다.

ABSTRACT

We consider an initial- and Dirichlet boundary- value problem for a fourth-order linear stochastic parabolic equation, in two or three space dimensions, forced by an additive space-time white noise. Discretizing the space-time white noise a modeling error is introduced and a regularized fourth-order linear stochastic parabolic problem is obtained. Fully-discrete approximations to the solution of the regularized problem are constructed by using, for discretization in space, a standard Galerkin finite element method based on C1 piecewise polynomials, and, for time-stepping, the Backward Euler method. We derive strong a priori estimates for the modeling error and for the approximation error to the solution of the regularized problem.

연구 동기 및 목표

• 공간-시간 백색 잡음에 의해 구동되는 제4형 스토크라스틱 포아르비크 편미분방정식에 대한 완전 이산 유한요소 근사법을 개발하고 분석한다.
• 잡음이 시간과 공간 양쪽에서 백색일 경우 해의 정규성이 떨어져 정규화가 필요해지는 도전 과제를 다룬다.
• 모델링 오차(잡음 정규화로 인한 오차)와 완전 이산 근사 오차에 대한 강한 사전 오차 추정을 유도한다.
• 완전 이산 스킴에 대해 $C^1$-연속 유한요소와 후진 오일러 시간 스텝을 사용하여 $L^2(\Omega; L^2(D))$-노름에서 수렴 속도를 확립한다.
• 메쉬 크기 $h$와 시간 스텝 $\Delta\tau$에 따른 오차의 의존성, 공간 차원과 다항식 차수 $r$를 고려하여 수렴 행동을 정량화한다.

제안 방법

• 공간-시간 유한요소 위에 정의된 조각별 상수 근사로 공간-시간 백색 잡음을 정규화하여 정규화된 스토크라스틱 문제의 수열을 도출한다.
• 공간 영역을 차수 $r \in \{2,3,4\}$의 조각별 다항식 기반의 $C^1$-연속 유한요소 공간으로 이산화하여 제4형 문제에 필요한 $H^2$-연속성을 확보한다.
• 시간 적분에 후진 오일러 방법을 적용하여, 암시적 시간 스텝과 공간에서 가우스킨 프로젝션을 포함하는 완전 이산 스킴을 도출한다.
• 해의 스토크라스틱 콘볼루션 표현을 그린 함수 $G(t;x,y)$를 통해 도출하고, 적분 표현식을 유도하며 오차 추정에 이토 정리(이토 등식)를 적용한다.
• 스펙트럼 분석을 통해 이산 타원형 연산자 $\Lambda_h$의 오차 한계를 설정하고, 힐버트-슈미트 노름 추정과 고유함수 전개를 활용한다.
• 결정론적 타원형 역연산자 오차 추정과 이토 정리, 코시-슈바르츠 부등식을 통한 확률적 추정을 조합하여 사전 추정을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간-시간 백색 잡음을 갖는 제4형 스토크라스틱 포아르비크 편미분방정식에 대한 2D 및 3D에서 완전 이산 유한요소 근사의 수렴 속도는 무엇인가요?
• RQ2 공간-시간 백색 잡음을 정규화함으로써 유도된 모델링 오차는 수치해의 전체 정확도에 어떤 영향을 미치나요?
• RQ3 완전 이산 유한요소 근사의 오차는 메쉬 크기 $h$와 시간 스텝 $\Delta\tau$에 대해 어떻게 의존하는가? 이는 $C^1$-연속 유한요소와 후진 오일러 시간 이산화에 기반한다.
• RQ4 수렴 속도는 공간 차원 $d$와 유한요소 공간의 다항식 차수 $r$에 따라 어떻게 달라지나요?
• RQ5 최소한의 정규성 가정 하에 완전 이산 스킴에 대해 $L^2(\Omega; L^2(D))$-노름에서 강한 사전 오차 추정을 도출할 수 있는가요?

주요 결과

• 공간-시간 백색 잡음의 정규화로 인한 모델링 오차는 임의의 $\epsilon \in (0, \nu(r,d)]$에 대해 $\mathcal{O}(\epsilon^{-1/2} h^{\nu(r,d)-\epsilon})$로 유계이며, $\nu(r,d)$는 $r$과 $d$에 따라 달라진다.
• 완전 이산 근사 오차는 $\max_{0 \leq m \leq M} \mathbb{E}[\|\widehat{U}_h^m - \widehat{u}(\tau_m, \cdot)\|_{L^2(D)}^2]^{1/2} \leq C \left[ \widetilde{\omega}(\Delta\tau, \epsilon_1) \Delta\tau^{\frac{4-d}{8}-\epsilon_1} + \epsilon_2^{-1/2} h^{\nu(r,d)-\epsilon_2} \right]$ 를 만족하며, 여기서 $\widetilde{\omega}(\Delta\tau, \epsilon_1) = \epsilon_1^{-1/2} + (\Delta\tau)^{\epsilon_1} (p_d(\Delta\tau^{1/4}))^{1/2}$ 이다.
• 차원 $d=2$일 경우 시간 수렴 속도는 $\mathcal{O}(\Delta\tau^{3/8 - \epsilon_1})$이며, $d=3$일 경우 $\mathcal{O}(\Delta\tau^{1/4 - \epsilon_1})$이다. 이는 고차원에서의 증가한 특이성 반영이다.
• 공간 수렴 속도는 $\mathcal{O}(h^{\nu(r,d)-\epsilon_2})$이며, (5.13)에 정의된 $\nu(r,d)$에 따라 결정되며, 다항식 차수 $r$이 높을수록 향상된다.
• 최종 시간 $T$에 대해 오차 추정이 안정적이며, 상수 $C$는 $T$에 독립적이다.
• 분석을 통해 후진 오일러 완전 이산 스킴이 정규화된 문제에 대해 이산 $L^\infty_t(L^2_P(L^2_x))$-노름에서 수렴함을 확인한다.