[논문 리뷰] Fully-Dynamic All-Pairs Shortest Paths: Improved Worst-Case Time and Space Bounds

Maximilian Probst Gutenberg, Christian Wulff‐Nilsen|Research at the University of Copenhagen (University of Copenhagen)|2020. 01. 29.

Distributed systems and fault tolerance인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 토르프의 15년 전의 $\tilde{O}(n^{2+3/4})$ 최악의 경우 업데이트 시간 상한을 뛰어넘는 첫 번째 결정론적 완전 동적 전쌍 최단경로 데이터 구조를 제시한다. 일반 그래프의 경우 $\tilde{O}(n^{2+5/7})$를 달성하고, 무중량 그래프의 경우 $\tilde{O}(n^{2+3/5})$를 달성한다. 계층적 분해와 수준별 데이터 구조, 배경 재구성 기법을 사용하여 최악의 경우 효율성과 $\tilde{O}(n^2)$의 공간 사용량을 보장한다.

ABSTRACT

Given a directed weighted graph $G=(V,E)$ undergoing vertex insertions \emph{and} deletions, the All-Pairs Shortest Paths (APSP) problem asks to maintain a data structure that processes updates efficiently and returns after each update the distance matrix to the current version of $G$. In two breakthrough results, Italiano and Demetrescu [STOC '03] presented an algorithm that requires $ ilde{O}(n^2)$ \emph{amortized} update time, and Thorup showed in [STOC '05] that \emph{worst-case} update time $ ilde{O}(n^{2+3/4})$ can be achieved. In this article, we make substantial progress on the problem. We present the following new results: (1) We present the first deterministic data structure that breaks the $ ilde{O}(n^{2+3/4})$ worst-case update time bound by Thorup which has been standing for almost 15 years. We improve the worst-case update time to $ ilde{O}(n^{2+5/7}) = ilde{O}(n^{2.71..})$ and to $ ilde{O}(n^{2+3/5}) = ilde{O}(n^{2.6})$ for unweighted graphs. (2) We present a simple deterministic algorithm with $ ilde{O}(n^{2+3/4})$ worst-case update time ($ ilde{O}(n^{2+2/3})$ for unweighted graphs), and a simple Las-Vegas algorithm with worst-case update time $ ilde{O}(n^{2+2/3})$ ($ ilde{O}(n^{2 + 1/2})$ for unweighted graphs) that works against a non-oblivious adversary. Both data structures require space $ ilde{O}(n^2)$. These are the first exact dynamic algorithms with truly-subcubic update time \emph{and} space usage. This makes significant progress on an open question posed in multiple articles [COCOON'01, STOC '03, ICALP'04, Encyclopedia of Algorithms '08] and is critical to algorithms in practice [TALG '06] where large space usage is prohibitive. Moreover, they match the worst-case update time of the best previous algorithms and the second algorithm improves upon a Monte-Carlo algorithm in a weaker adversary model with the same running time [SODA '17].

연구 동기 및 목표

• 완전 동적 전쌍 최단경로에 대해 오랫동안 유지된 $\tilde{O}(n^{2+3/4})$ 최악의 경우 업데이트 시간 상한을 극복하기 위해.
• 진정으로 삼차 이하의 업데이트 시간과 $\tilde{O}(n^2)$의 공간 사용량을 갖는 결정론적 데이터 구조를 설계하여, 동적 알고리즘 분야에서 중요한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 이전의 랜덤화 및 평균화 알고리즘보다 최악의 경우 업데이트 시간을 개선하면서 정확성과 공간 효율성을 유지하기 위해.
• 비관측성 적대자에 대응할 수 있는 데이터 구조를 구성하여, 적응형 입력에 대한 강건성을 확보하기 위해.
• 공간 효율적인 정확한 동적 APSP 알고리즘을 처음으로 제공하여 $\tilde{O}(n^2)$의 공간 사용량을 달성함으로써, 이 분야에서 오랫동안 남아있던 열린 질문을 해결하기 위해.

제안 방법

• 정점들을 $C_0, C_1, \dots, C_{\lceil \lg h \rceil + 1}$ 수준으로 계층적으로 군집화하는 접근 방식을 사용하며, $C_0 = V$ 이고 크기가 점점 감소한다.
• 각 수준 $i$에서 $C_{i+1}$에 속한 정점을 피하는 최단경로를 계산하는 데이터 구조 $\mathcal{D}_i$ 를 유지한다. 이는 수정된 벨만-포드 절차를 사용한다.
• 업데이트 빈도를 제어하고 최악의 경우 업데이트 상한을 확보하기 위해 동적 업데이트 임계값 $\Delta_i = n^{2/3} / (2^i \log n)$ 을 설정한다.
• 배경에서 데이터 구조를 재구성하여 과정을 비균형화하고, 효율성을 희생시키지 않은 채 최악의 경우 성능을 보장한다.
• 정점 삭제 처리는 $G \setminus D$ 에서 $\mathcal{D}_1$ 을 통해 최단경로를 계산하고, $C_i$ 를 거쳐 $C_{i+1}$ 를 피하는 경로를 재귀적으로 조합한 후, 존슨 알고리즘을 사용해 정점을 다시 삽입한다.
• 재건 비용과 업데이트 시간 사이의 트레이드오프를 균형 잡기 위해 $h = n^{1/3} (\log n)^2$ 를 최적화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 결정론적 완전 동적 APSP 데이터 구조가 $\tilde{O}(n^{2+3/4})$ 이하의 최악의 경우 업데이트 시간을 달성할 수 있는가? 이는 토르프의 15년 전의 상한을 뛰어넘는다.
• RQ2 진정으로 삼차 이하의 업데이트 시간과 $\tilde{O}(n^2)$ 공간 사용량을 갖는 완전 동적 APSP 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ3 이러한 데이터 구조가 비관측성 적대자에 대해 강건해질 수 있는가? 즉, 내부의 난수를 관찰할 수 있는 적대자에 대응할 수 있는가?
• RQ4 최악의 경우 업데이트 시간 $\tilde{O}(n^{2+2/3})$ 를 결정론적으로 달성할 수 있는가? 이는 최고의 랜덤화된 결과와 일치한다.
• RQ5 공간 효율적인 동적 APSP 알고리즘을 구성할 수 있는가? 정확한 거리를 유지하면서도 오직 $\tilde{O}(n^2)$ 공간만을 사용한다.

주요 결과

• 논문은 일반 간선 가중치 그래프에 대해 $\tilde{O}(n^{2+5/7})$ 업데이트 시간을 달성하는 첫 번째 결정론적 데이터 구조를 제시한다. 이는 토르프의 $\tilde{O}(n^{2+3/4})$ 최악의 경우 업데이트 시간 상한을 뛰어넘는다.
• 무중량 그래프의 경우 업데이트 시간이 $\tilde{O}(n^{2+3/5})$ 로 향상되어, 기존의 최고 성능을 초월한다.
• 간단한 결정론적 알고리즘으로 $\tilde{O}(n^{2+3/4})$ 최악의 경우 업데이트 시간과 $\tilde{O}(n^2)$ 공간 사용량을 달성하였다. 이는 이전의 최고 성능과 일치하지만, 완전한 결정론성을 확보한다.
• 비관측성 적대자에 대응하는 라스베가스 알고리즘으로 $\tilde{O}(n^{2+2/3})$ 최악의 경우 업데이트 시간과 $\tilde{O}(n^2)$ 공간 사용량을 달성하였다.
• 무중량 그래프의 경우, 라스베가스 알고리즘이 최악의 경우 업데이트 시간 $\tilde{O}(n^{2+1/2})$ 를 달성하여 이전의 랜덤화 알고리즘보다 향상되었다.
• 모든 제안된 데이터 구조는 $\tilde{O}(n^2)$ 공간을 사용한다. 이는 정확한 동적 APSP 알고리즘 중에서 처음으로 이러한 공간 효율성을 달성한 것으로, 오랫동안 남아있던 열린 문제를 해결한다.