[논문 리뷰] Fully Online Matching II: Beating Ranking and Water-filling

Zhiyi Huang, Zhihao Gavin Tang외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 13.

Optimization and Search Problems참고 문헌 22인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 이원 그래프에서 정수 매칭을 위한 균형 임계값 알고리즘(Balanced Ranking)과 일반 그래프에서 분수 매칭을 위한 급한 물 채우기 알고리즘(Eager Water-filling)이라는 두 가지 새로운 알고리즘을 제안한다. 이 알고리즘들은 완전 온라인 매칭 모델에서 고전적인 Ranking 및 Water-filling 알고리즘을 능가한다. 물 채우기의 통찰을 정수 알고리즘에 통합하고 분수 설정에서 조기 매칭을 가능하게 함으로써, 저자들은 각각 0.569와 0.592의 경쟁률을 달성하여 이전의 이론적 한계를 뛰어넘었다.

ABSTRACT

Karp, Vazirani, and Vazirani (STOC 1990) initiated the study of online bipartite matching, which has held a central role in online algorithms ever since. Of particular importance are the Ranking algorithm for integral matching and the Water-filling algorithm for fractional matching. Most algorithms in the literature can be viewed as adaptations of these two in the corresponding models. Recently, Huang et al.~(STOC 2018, SODA 2019) introduced a more general model called \emph{fully online matching}, which considers general graphs and allows all vertices to arrive online. They also generalized Ranking and Water-filling to fully online matching and gave some tight analysis: Ranking is $Ω\approx 0.567$-competitive on bipartite graphs where the $Ω$-constant satisfies $Ωe^Ω= 1$, and Water-filling is $2-\sqrt{2} \approx 0.585$-competitive on general graphs. We propose fully online matching algorithms strictly better than Ranking and Water-filling. For integral matching on bipartite graphs, we build on the online primal dual analysis of Ranking and Water-filling to design a $0.569$-competitive hybrid algorithm called Balanced Ranking. To our knowledge, it is the first integral algorithm in the online matching literature that successfully integrates ideas from Water-filling. For fractional matching on general graphs, we give a $0.592$-competitive algorithm called Eager Water-filling, which may match a vertex on its arrival. By contrast, the original Water-filling algorithm always matches vertices at their deadlines. Our result for fractional matching further shows a separation between fully online matching and the general vertex arrival model by Wang and Wong (ICALP 2015), due to an upper bound of $0.5914$ in the latter model by Buchbinder, Segev, and Tkach (ESA 2017).

연구 동기 및 목표

• 완전 온라인 매칭 모델에서 Ranking과 Water-filling이 이전에 최적으로 간주되었던 이론적 한계를 극복하기 위해.
• 이원 그래프에서 Water-filling의 장점을 Ranking 프레임워크에 통합한 하이브리드 정수 알고리즘을 설계하기 위해.
• 마감 시간 도래 전에 매칭을 허용하는 분수 알고리즘을 개발하여 이전에 마감 시간에만 매칭이 가능하다는 제약을 깨뜨리기 위해.
• 기존의 Ω ≈ 0.567 (Ranking) 및 2−√2 ≔ 0.585 (Water-filling)의 알려진 경계를 초월하는 새로운 경쟁률을 확립하기 위해.
• 완전 온라인 모델과 일반 정점 도착 모델 사이의 분리 효과를 입증하기 위해, 후자의 경우 더 높은 상한선이 존재함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 온라인 원형-이중 분석을 사용하여, Ranking의 무작위 순열과 Water-filling의 매칭 우선순위를 조합한 하이브리드 알고리즘인 Balanced Ranking을 제안한다.
• 정점 도착 즉시 가장 매칭 비율이 낮은 가용 이웃에게 매칭하는 방식으로, 마감 시간 도래를 기다리지 않는 분수 알고리즘인 Eager Water-filling을 도입한다.
• 역누적 매칭 확률을 모델링하기 위해 함수 h: [0,1] → [0,1]을 사용하며, 매칭 임계값을 결정하기 위해 f = h⁻¹를 사용한다.
• 요구 조건을 만족하는 함수 h를 유도하기 위해 요소 노출 선형 프로그래밍을 사용한다. 이는 이중 타당성과 경쟁률 제약 조건을 충족한다.
• 온라인 원형-이중 프레임워크를 적용하여, 모든 정점 도착 순서에서 근사적인 이중 타당성을 만족하는 이중 변수 α_v 및 α_u를 유도한다.
• 모든 경우에 이중 타당성을 확보하기 위해, v가 u보다 먼저 도착할 경우와 u가 v보다 먼저 도착할 경우에 대해 각각 두 개의 핵심 식을 유도하고 최소화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전 온라인 모델에서 이원 그래프에 대해 정수 온라인 매칭 알고리즘이 Ranking 알고리즘의 약 0.567의 경쟁률을 엄밀히 뛰어넘을 수 있는가?
• RQ2 완전 온라인 모델에서 일반 그래프에 대해 분수 온라인 매칭 알고리즘이 Water-filling 알고리즘의 2−√2 ≈ 0.585 경쟁률을 초월할 수 있는가?
• RQ3 정점의 조기(즉각적) 매칭을 허용하는 완전 온라인 매칭 알고리즘을 설계할 수 있으며, 이는 경쟁력 향상에 기여하는가?
• RQ4 완전 온라인 모델은 일반 정점 도착 모델보다 더 높은 경쟁률을 달성할 수 있는가? 이 모델의 분수 매칭에 대한 상한선은 0.5914이다.
• RQ5 온라인 원형-이중 방법을 Ranking과 Water-filling의 아이디어를 통합한 통합 프레임워크로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 Balanced Ranking 알고리즘은 이원 그래프에서 정수 매칭에 대해 0.569의 경쟁률을 달성하여, 이전까지 알려진 Ranking의 최고 경계값 Ω ≈ 0.567을 초월한다.
• Eager Water-filling 알고리즘은 일반 그래프에서 분수 매칭에 대해 0.592의 경쟁률을 달성하여, 원래 Water-filling 알고리즘의 2−√2 ≈ 0.585 경쟁률을 초월한다.
• 레미마 4.4의 부등식 (7), (8), (9)를 만족하는 함수 h의 존재는 경쟁률 분석에 사용된 이중 변수의 타당성을 확인한다.
• Eager Water-filling의 0.592 경쟁률은 일반 정점 도착 모델과의 엄밀한 분리 효과를 보여주며, 이 모델의 분수 매칭에 대한 상한선은 0.5914이다.
• 결과적으로, 완전 온라인 모델에서의 정수 및 분수 알고리즘은 고전적 대응 알고리즘의 성능을 뛰어넘을 수 있음을 보여주며, Ranking과 Water-filling이 최적이라는 가정을 도전한다.
• 분석 결과, 정의된 이중 변수 하에 역약약 이중성은 등호로 성립함을 확인하여, 사용된 온라인 원형-이중 프레임워크의 정확성을 검증한다.