[논문 리뷰] Function Approximation with Quantum Circuit

Alberto Delgado|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 30.

Numerical Methods and Algorithms참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 기대값을 통해 함수를 근사하는 두 큐비트 양자 회로를 제안하며, 테일러 전개를 통해 삼차 다항식을 표현할 수 있음을 증명한다. 시뮬레이션 결과는 낮은 오차로 이차함수, 가우시안 함수, 시그모이드 함수를 정확하게 근사함을 보여주며, 양자 강화 기계학습 구성 요소의 잠재력을 입증한다.

ABSTRACT

A mathematical proposition with a trainable pair, operator and quantum circuit, are introduced to approximate functions expressed as cubic Taylor polynomials, numerical simulations illustrate three cases.

연구 동기 및 목표

• 훈련 가능한 파rameter와 연산자를 사용하여 양자 회로가 복잡한 함수를 근사할 수 있음을 보여주기.
• 양자 회로의 기대값이 테일러 급수 전개를 통해 삼차 다항식을 표현할 수 있음을 수학적으로 증명하기.
• 신경망에서 기본이 되는 시그모이드 함수가 양자 회로를 통해 효과적으로 근사될 수 있음을 보여주기.
• 비다항식 함수인 가우시안 함수 및 시그모이드 함수에 대해 소규모 양자 회로의 근사 성능을 평가하기.
• 양자 회로 복잡도와 근사 정확도 사이의 상호 상관 관계를 탐색하기.

제안 방법

• 입력값 x를 인코딩하기 위해 R(x−θi) 회전 게이트와 헤르마드 게이트를 사용하여 |00⟩에서 초기화된 두 큐비트 양자 회로를 구성한다.
• 회로의 유니터리 연산자 U는 R(x−θ2)⊗R(x−θ1)(H⊗H)로 정의되며, 입력 x를 양자 상태 |ψ(θ1,θ2,x)⟩로 인코딩한다.
• 기대값 ⟨G⟩는 g0에서 g3까지의 성분을 가진 대각 연산자 G를 사용하여 계산되며, 이는 x에 대한 삼차 다항식이 된다.
• 삼차 다항식의 계수 a0에서 a3는 θ1, θ2 및 G의 대각 성분에 대한 함수이다.
• 30개의 샘플에 대해 [−1.5, 1.5] 범위에서 성능 지표 J = Σ(f(xk)−f̂(xk))²을 최소화하기 위해 생물학적 영감을 받은 최적화 알고리즘을 사용한다.
• 이론적 유도를 통해 회전 게이트의 진폭의 테일러 전개가 이차 진폭을 유도하고, 결과적으로 삼차 기대값이 도출됨을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 큐비트 양자 회로가 기대값을 통해 삼차 다항식을 근사할 수 있는가?
• RQ2 이러한 회로가 가우시안 및 시그모이드와 같은 비다항식 함수를 어느 정도 근사할 수 있는가?
• RQ3 근사 오차는 양자 회로의 복잡도와 파rameter 조정에 어떻게 영향을 받는가?
• RQ4 양자 회로의 기대값이 신경망의 핵심 활성화 함수에 대해 일반적인 함수 근사기로 작용할 수 있는가?
• RQ5 생물학적 영감을 받은 최적화 알고리즘이 양자 회로의 함수 근사 학습에 대해 어떤 성능을 보이는가?

주요 결과

• 두 큐비트 양자 회로의 기대값 ⟨G⟩는 조정 가능한 계수를 가진 x에 대한 삼차 다항식으로 수학적으로 증명되었다.
• 이차함수 f(x) = x²에 대해 5000회 반복 후 최종 성능 지표 J는 0.03이었으며, θ = [1.373, 1.770]이고 G의 대각 성분은 [-0.081, 2.260, 2.272, 4.954]였다.
• 가우시안 함수 f(x) = e⁻ˣ²에 대해 근사 성능은 J = 0.005였으며, θ = [0.497, -0.498]이고 G = diag[-0.088, 1.152, 1.711, -0.089]였다.
• 시그모이드 함수 f(x) = tanh(x)는 J = 0.006으로 근사되었으며, θ = [0.266, 0.069]이고 G = diag[-0.885, 0.055, 0.466, 0.931]였다.
• 시뮬레이션 결과는 양자 회로가 신경망에 필수적인 핵심 함수 클래스를 낮은 오차로 근사할 수 있음을 확인한다.
• 근사 오차는 회로의 복잡도와 파arameter 조정에 민감하며, 더 작은 J 값은 더 부드러운 함수에 대해 더 높은 정밀도를 나타낸다.