[논문 리뷰] Functional central limit theorems for epidemic models with varying infectivity

Guodong Pang, Étienne Pardoux|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 24.

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한 줄 요약

이 논문은 감염 연령에 따라 변하는 감염성을 갖는 확률적 전염병 모델에 대해 기능적 중심극한정리(FCLTs)를 수립한다. 여기서 개인의 감염성은 감염 연령에 대한 난수 함수로 모델링된다. 감수성, 감염성, 회복자 과정의 확산 스케일링된 변동의 극한은 두 차원의 가우시안 구동 확률적 볼테라 적분방정식의 해로 특징지어지며, 전통적인 FCLTs를 일반적인 감염 기간 분포를 갖는 비마르코프, 감염 연령 의존적 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we prove functional central limit theorems (FCLTs) for a stochastic epidemic model with varying infectivity and general infectious periods recently introduced in Forien, Pang and Pardoux (2020).The infectivity process (total force of infection at each time) is composed of the independent infectivity random functions of each infectious individual, which starts at the time of infection. These infectivity random functions induce the infectious periods (as well as exposed, recovered or immune periods in full generality), whose probability distributions can be very general. The epidemic model includes the generalized non-Markovian SIR, SEIR, SIS, SIRS models with infection-age dependent infectivity. In the FCLTs for the generalized SIR and SEIR models, the limits of the diffusion-scaled fluctuations of the infectivity and susceptible processes are a unique solution to a two-dimensional Gaussian-driven stochastic Volterra integral equations, and then given these solutions, the limits for the infected (exposed/infectious) and recovered processes are Gaussian processes expressed in terms of the solutions to those stochastic Volterra integral equations. We also present the FCLTs for the generalized SIS and SIRS models.

연구 동기 및 목표

• 감염 연령 의존적 감염성을 갖는 전염병 모델에 기능적 중심극한정리(FCLTs)를 확장한다. 여기서 감염성은 시간에 따라 확률적으로 변한다.
• 일반화된 SIR 및 SEIR 모델에서 감수성, 감염성, 회복자 과정의 공동 확산 스케일링된 변동을 그들의 결정론적 극한 주위에서 특징짓는다.
• 한계 변동이 두 차원의 가우시안 구동 확률적 볼테라 적분방정식으로 규정됨을 확립한다. 이는 변하는 감염성과 분류 간 전이의 역학을 포착한다.
• 비마르코프 전염병 과정에서의 확률적 변동을 모델링하기 위한 엄밀한 수학적 프레임워크를 제공한다. 이는 일반적인 감염 기간 분포를 갖는다.
• 정규성 조건 하에서 경로 연속성을 보장하는 조건에서, 스케일링된 과정이 cadlag 함수 공간에서 수렴함을 보여준다.

제안 방법

• 각 개인의 감염성을 감염 연령에 대한 i.i.d. 난수 함수로 모델링한다. 초기값은 0 또는 양수이며, 조각별 연속 경로와 유한 개의 불연속점을 갖는다.
• cadlag 함수 공간 위의 포아송 난수 측도(PrMs)를 사용하여 감염자의 도착과 감염성 궤적을 표현한다.
• 보정된 PrMs를 사용하여 마틴갈 구성요소를 다루기 위해 총 감염성 과정을 결정론적 극한과 변동 항으로 분해한다.
• 수렴 분석을 용이하게 하기 위해, 난수 감염률을 그 결정론적 극한으로 대체하여 보조 과정을 구성한다.
• 스토크라스틱 과정의 최대값에 대한 모멘트 추정과 D([0,∞);ℝ)에서의 타이트니스 기준을 적용하여 스케일링된 과정의 약한 수렴을 증명한다.
• 감수성과 감염성 과정의 공동 역학을 위한 한계 확률적 볼테라 적분방정식을 유도하며, 나머지 분류는 이 해의 함수적 표현으로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 감염성이 감염 연령에 따라 변하고 비마르코프일 경우, 전염병 역학의 확률적 변동은 어떻게 행동하는가?
• RQ2 감염성이 변하는 일반화된 SIR 모델에서 감수성, 감염성, 회복자 과정의 스케일링된 확산 과정의 한계 분포는 무엇인가?
• RQ3 감수성과 감염성 과정의 공동 수렴은 가우시안 구동 확률적 볼테라 적분방정식으로 특징지어질 수 있는가?
• RQ4 SEIR 모델에서 잠복기(E)와 감염기(I) 분류를 포함함으로써 SIR 모델에 비해 FCLT는 어떻게 개선되는가?
• RQ5 스케일링된 전염병 과정의 약한 수렴을 보장하기 위해 감염성 함수와 분포에 필요한 조건는 무엇인가?

주요 결과

• 감수성과 감염성 과정의 한계 확산 스케일링 변동은 유일하게 두 차원의 가우시안 구동 확률적 볼테라 적분방정식으로 결정된다.
• 감염자(또는 잠복기/감염기) 및 회복자 과정의 극한은 확률적 볼테라 방정식의 해의 함수적 표현으로 표현되며, 결정론적 극한이 연속일 경우 경로 연속성을 보장한다.
• FCLT의 구동 가우시안 과정은 초기 변동과 무관하며, S = 1 - I - R 조건을 갖는 SEIR 모델의 경우와 동일한 공분산 구조를 갖는다.
• 감염성 함수에 대해 약한 정규성 조건(유한 개의 불연속점이 있는 조각별 연속성 포함)이 성립할 경우 FCLT가 성립한다.
• 수렴은 [0,∞)에서 cadlag 함수 공간에서 성립하며, 모멘트 추정과 [4]의 정리 13.5의 수정된 형태를 통해 타이트니스가 보장된다.
• 감염 연령 의존적 감염성과 일반적인 감염 기간 분포를 포함함으로써, 기존의 비마르코프 SIR 및 SEIR 모델에 대한 전통적 FCLTs를 일반화한다.