[논문 리뷰] Functional Itō calculus in Hilbert spaces and application to path-dependent Kolmogorov equations

Mauro Rosestolato|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간에 값이 있는 확산 과정에 대해 기능적 이토 미적분을 확장하여 경로에 의존하는 이토 공식을 수립하고, 이를 경로에 의존하는 코모고로프 방정식을 풀이하는 데 응용한다. 또한 클락-오콘 타입의 표현 공식을 유도하고, 경로에 의존하는 비율과 일정한 확산 계수를 갖는 확률미분방정식(SDE)의 해에 대한 정규성 조건을 입증하며, 라돈 측도 커널을 갖는 지연 SDE의 일군의 클래스에서 이 틀을 검증한다.

ABSTRACT

Recently, functional Itō calculus has been introduced and developed in finite dimension for functionals of continuous semimartingales. With different techniques, we develop a functional Itō calculus for functionals of Hilbert spacevalued diffusions. In this context, we first prove a path-dependent Itō's formula, then we show applications to classical solutions of path-dependent Kolmogorov equations in Hilbert spaces and derive a Clark-Ocone type formula. Finally, we explicitly verify that all the theory developed can be applied to a class of diffusions driven by SDEs with a path-dependent drift (suitably regular) and constant diffusion coefficient.

연구 동기 및 목표

• 연속적인 세미마르تين갈의 비예측적 기능적 함수에 대해 무한차원 힐버트 공간에서의 기능적 이토 미적분을 개발한다.
• 경로에 의존하는 비율과 일정한 확산 계수를 갖는 힐버트 공간에 값이 있는 확산 과정의 기능적 함수에 대해 경로에 의존하는 이토 공식을 수립한다.
• 경로에 의존하는 코모고로프 방정식의 최종 조건이 있는 해가 확산 과정의 기능적 함수의 조건부 기댓값과 대응됨을 보인다.
• 경로에 의존하는 코모고로프 방정식의 해에 대해 클락-오콘 타입의 표현 공식을 도출한다.
• 경로에 의존하는 비율과 일정한 확산 계수를 갖는 SDE의 해 맵이 경로의 힐버트 공간에서의 정규성 조건을 갖는다.

제안 방법

• 시간과 공간의 도함수를 경로에 따라 정의함으로써, 힐버트 공간에 값이 있는 확산 과정의 비예측적 기능적 함수에 대해 기능적 이토 미적분을 수립한다.
• 경로에 의존하는 비율과 일정한 확산 계수를 갖는 확산 과정 $ X^{t,\boldsymbol{x}} $에 대해 기능적 함수 $ u(s, X^{t,\boldsymbol{x}}_s) $의 경로에 의존하는 이토 공식을 유도한다.
• 이토 공식을 적용하여 함수 $ \varphi(t, \mathbf{x}) = \mathbb{E}[f(X^{t,\mathbf{x}})] $ 가 최종 조건 $ f $ 를 갖는 경로에 의존하는 역방향 코모고로프 방정식을 만족함을 보인다.
• 해 $ \varphi $ 의 수직 도함수를 통해 마틴갈 표현의 스토케스틱 적분의 계수를 식별함으로써 클락-오콘 타입의 공식을 수립한다.
• 비율과 확산 계수에 대한 정규성 조건 하에서, 해 맵 $ (t, \mathbf{x}) \mapsto X^{t,\mathbf{x}} $ 이 공간 $ \mathbb{B}^1(H) $ 에서 프레셰 미분 가능함을 분석한다.
• 복합 규칙과 도함수의 유계성 조건을 이용하여, 해 맵 $ \varphi $ 가 클래스 $ \mathcal{G}^2(\mathbb{B}^1_\infty(H), \mathbb{R}) $ 에 속함을 입증하며, 일관되게 유계인 일阶 및 이阶 도함수를 갖는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기능적 이토 미적분은 유한차원에서 무한차원 힐버트 공간으로 확장 가능할까? 경로에 의존하는 확산 과정의 기능적 함수에 대해 적용 가능한가?
• RQ2 경로에 의존하는 비율과 일정한 확산 계수를 갖는 힐버트 공간에 값이 있는 확산 과정의 기능적 함수에 대해 경로에 의존하는 이토 공식이 성립하는가?
• RQ3 경로에 의존하는 코모고로프 방정식의 해는 확산 과정의 기능적 함수의 조건부 기댓값으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 이 무한차원 설정에서 경로에 의존하는 코모고로프 방정식의 해에 대해 클락-오콘 타입의 표현 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ5 특히 비율이 라돈 측도를 포함하는 컨볼루션 구조를 갖는 경우, 경로의 힐버트 공간에서 해 맵 $ (t, \mathbf{x}) \mapsto X^{t,\mathbf{x}} $ 는 어떤 정규성 성질을 갖는가?

주요 결과

• 경로에 의존하는 비율과 일정한 확산 계수를 갖는 힐버트 공간에 값이 있는 확산 과정의 비예측적 기능적 함수에 대해 경로에 의존하는 이토 공식이 수립되었다.
• 경로에 의존하는 코모고로프 방정식의 해 $ \varphi(t, \mathbf{x}) = \mathbb{E}[f(X^{t,\mathbf{x}})] $ 는 일관되게 유계인 일阶 및 이阶 프레셰 도함수를 갖는다. 이는 $ \mathcal{G}^2(\mathbb{B}^1_\infty(H), \mathbb{R}) $ 에 속함을 의미한다.
• 클락-오콘 타입의 공식이 도출되었으며, 마틴갈 표현의 스토케스틱 적분의 계수는 해 $ \varphi $ 의 수직 도함수로 식별된다.
• 비율이 라돈 측도를 포함하는 컨볼루션 구조를 갖는 조건 하에서, 해 맵 $ (t, \mathbf{x}) \mapsto X^{t,\mathbf{x}} $ 는 $ \mathbb{B}^1(H) $ 에서 프레셰 미분 가능하며, 이 때 도함수는 $ \omega, t, \mathbf{x} $ 에 대해 일致하게 유계이다.
• 비율이 $ b(t, \mathbf{x}) = \int \tilde{g}(t-s, \mathbf{x}(t-s)) \mu(ds) $ 의 형태를 갖는 SDE에 대해 이 이론이 명시적으로 검증되었다. 여기서 $ \tilde{g} $ 는 유계이고 $ C^2_b $이며, 도함수가 균일 연속이다.
• 함수 $ \mathbf{x} \mapsto f(X^{t,\mathbf{x}}) $ 는 $ \mathbb{B}^1(H) $ 에서 미분 가능하며, 연쇄법칙과 $ X^{t,\mathbf{x}} $ 의 도함수의 유계성 조건을 통해 유계인 프레셰 도함수를 도출하였다.