[논문 리뷰] Functional principal component analysis for global sensitivity analysis of model with spatial output

Tran Vi-Vi Élodie Perrin, Olivier Roustant외 7명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 20.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 29인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 해안flooding 모델과 같이 고차원 공간적 출력을 가지는 계산적으로 비용이 많이 드는 시뮬레이터에 대해 기능적 주성분 분석(FPCA) 기반의 방법론을 제안한다. 이는 전역 감도 분석(GSA)을 가능하게 한다. 파형 기반 분해(wavelets 또는 B-splines), 에너지 기준 또는 페널라이제이션 회귀를 통한 기저 계수 선택, 그리고 기저 함수의 그람 행렬 메트릭을 사용한 FPCA를 결합함으로써, 공간적 구조를 유지하면서 출력 차원을 감소시키고, 비정상적이고 국소적으로 변하는 출력에 대해서도 정확한 메타모델링과 분석적 분산 기반 감도 지수를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Motivated by risk assessment of coastal flooding, we consider time-consuming simulators with a spatial output. The aim is to perform sensitivity analysis (SA), quantifying the influence of input parameters on the output. There are three main issues. First, due to computational time, standard SA techniques cannot be directly applied on the simulator. Second, the output is infinite dimensional, or at least high dimensional if the output is discretized. Third, the spatial output is non-stationary and exhibits strong local variations. We show that all these issues can be addressed all together by using functional PCA (FPCA). We first specify a functional basis, such as wavelets or B-splines, designed to handle local variations. Secondly, we select the most influential basis terms, either with an energy criterion after basis orthonormalization, or directly on the original basis with a penalized regression approach. Then FPCA further reduces dimension by doing PCA on the most influential basis coefficients, with an ad-hoc metric. Finally, fast-to-evaluate metamodels are built on the few selected principal components. They provide a proxy on which SA can be done. As a by-product, we obtain analytical formulas for variance-based sensitivity indices, generalizing known formula assuming orthonormality of basis functions.

연구 동기 및 목표

• 시간이 많이 소요되는 시뮬레이터의 공간적 출력에서 강한 국소적 변동성을 보이는 경우에 전역 감도 분석을 수행하는 데 도전하는 문제를 해결하기 위해.
• 표준 PCA 및 기능적 기저 방법이 비정상적이고 고차원의 공간적 출력, 특히 불연속성을 포함한 경우에 한계를 보이는 문제를 극복하기 위해.
• 공간적 의존성을 유지하면서 정확하고 빠르게 평가할 수 있는 메타모델을 가능하게 하는 차원 감소 프레임워크를 개발하기 위해.
• 임의의(비직교기저가 아닌) 기저 함수에 대해 유효한 분산 기반 감도 지수의 해석적 공식을 유도하기 위해.
• 해안홍수 모델링에서 날카러운 공간적 특징을 포착하는 데 있어 고전적 PCA보다 우수한 성능을 보이는지 검증하기 위해.

제안 방법

• 파형 기반 분해를 통해 웨이브릿 또는 B-spline을 사용하여 공간적 출력을 계수의 집합으로 표현하기 위해.
• 기저 항목의 초기 선택을 위해 정규직교화 후 에너지 기준을 사용하거나 원래 기저에 대해 페널라이제이션 회귀(예: 라소)를 적용하기 위해.
• 기저 함수의 그람 행렬에 의해 정의된 메트릭을 사용하여 비직교성도 고려한 선택된 계수에 대해 기능적 주성분 분석(FPCA)을 적용하기 위해.
• 가장 영향력 있는 주성분 몇 개에 대해 가우시안 프로세스 메타모델을 구축하여 빠른 평가와 감도 분석을 가능하게 하기 위해.
• FPCA 프레임워크를 사용하여 일반화된 분산 기반 감도 지수를 유도하며, 기저 함수의 직교성 가정 없이도 유효하도록 하기 위해.
• 유도된 메타모델을 사용하여 주효과 및 총 효과 감도 지수를 효율적으로 계산하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저 선택이 포함된 기능적 주성분 분석은 고차원 출력에서 강한 국소적 변동성을 보이는 공간적 특징을 포착하는 데 있어 표준 PCA보다 뛰어난가?
• RQ2 출력이 고차원적이고 계산적으로 비용이 많이 드는 공간적 시뮬레이터에 대해 감도 분석을 어떻게 효율적으로 수행할 수 있는가?
• RQ3 비직교기저(예: B-spline)를 사용할 경우 기능적 주성분 분석 프레임워크에서 감도 지수의 정확성과 해석 가능성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 기저 선택 이후 FPCA를 거치는 이중 단계의 차원 감소가 메타모델 정확도를 향상시키면서도 계산 비용을 줄일 수 있는가?
• RQ5 기저 함수가 직교가 아닐 경우 제안된 감도 지수는 고전적 지수와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 기저 선택이 포함된 FPCA는 해안홍수 경계와 같은 날카로운 공간적 불연속성이 있는 영역에서 표준 PCA보다 메타모델 정확도가 크게 향상된다.
• 저자들의 실험 결과에 따르면, 정규직교화 후 에너지 기준이 페널라이제이션 회귀보다 정확도와 계산 비용 측면에서 더 효과적인 것으로 밝혀졌다.
• 이 방법은 256×256 공간적 출력(65,536 픽셀)의 차원을 관리 가능한 수준의 주성분 수로 감소시키면서도 핵심 공간적 특징을 유지하는 데 성공했다.
• 임의의 기저 함수에 대해 유효한 분산 기반 감도 지수의 해석적 공식을 도출하여, 직교성 가정이 필요 없게 되었다.
• 실제 해안홍수 사례 연구에서 감도 지수는 surge peak와 duration과 같은 침수 과정과 관련된 입력을 정확히 식별했다.
• 표준 PCA가 계산적으로 비가능해지는 고해상도 격자에 대해서도 이 방법은 여전히 적용 가능하다.