[논문 리뷰] Functions of noncommuting self-adjoint operators under perturbation and estimates of triple operator integrals

А. Б. Александров, Fëdor Nazarov외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 27.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비가환 자기수반 및 유니터리 연산자의 함수에 대해 슈체텐–폰 뉴먼 노름 $\mathbf{S}_p$ 에서 리프시츠 유형의 추정을 도입하며, 삼중 연산자 적분과 새로운 하아거프 유사 텐서곱 프레임워크를 사용한다. $1 \leq p \leq 2$ 에서, 베소프 공간 $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$ 에 속하는 함수들이 이러한 추정을 제공하는 것으로 나타났고, 그러나 연산자 노름이나 $p > 2$ 에서는 그렇지 않으며, 조건의 날카로움을 해결한다.

ABSTRACT

We define functions of noncommuting self-adjoint operators with the help of double operator integrals. We are studying the problem to find conditions on a function $f$ on ${\Bbb R}^2$, for which the map $(A,B)\mapsto f(A,B)$ is Lipschitz in the operator norm and in Schatten--von Neumann norms $\boldsymbol{S}_p$. It turns out that for functions $f$ in the Besov class $B_{\infty,1}^1({\Bbb R}^2)$, the above map is Lipschitz in the $\boldsymbol{S}_p$ norm for $p\in[1,2]$. However, it is not Lipschitz in the operator norm, nor in the $\boldsymbol{S}_p$ norm for $p>2$. The main tool is triple operator integrals. To obtain the results, we introduce new Haagerup-like tensor products of $L^\infty$ spaces and obtain Schatten--von Neumann norm estimates of triple operator integrals. We also obtain similar results for functions of noncommuting unitary operators.

연구 동기 및 목표

• 함수 $f$ 가 $\mathbb{R}^2$ 에서 정의될 때, 사상 $(A,B) \mapsto f(A,B)$ 가 연산자 노름과 슈체텐–von Neumann 노름 $\mathbf{S}_p$ 에서 리프시츠 성질을 가지는 조건을 규명하는 것.
• 비가환 자기수반 및 유니터리 연산자의 함수가 외부 변화에 대해 어떻게 행동하는지 분석하는 것.
• $1 \leq p \leq 2$ 에서 $f(A,B) - f(A',B')$ 의 슈체텐–von Neumann 노름에 대한 날카로운 경계를 $\|A - A'\|_{\mathbf{S}_p}$ 와 $\|B - B'\|_{\mathbf{S}_p}$ 에 대해 유도하는 것.
• $L^\infty$ 공간들의 하아거프 유사 텐서곱을 도입하고 이를 활용하여 삼중 연산자 적분을 추정하는 것.

제안 방법

• 비가환 자기수반 연산자의 스펙트럼 측도를 사용하여 이중 연산자 적분을 통해 $f(A,B)$ 를 정의하는 것.
• 나누어진 차분 $\mathfrak{D}^{[1]}f$ 와 $\mathfrak{D}^{[2]}f$ 를 포함하는 삼중 연산자 적분 표현을 사용하여 차이 $f(A,B) - f(A',B')$ 를 표현하는 것.
• 삼중 연산자 적분의 슈체텐–von Neumann 노름을 제어하기 위해 $L^\infty \otimes_h L^\infty \otimes^h L^\infty$ 와 같은 하아거프 유사 텐서곱을 도입하는 것.
• 삼각함수 다항식 근사와 함수 $\Xi_n(z) = \frac{1}{2n+1}\sum_{k=-n}^n z^k$ 를 사용하여 차분 몫의 연산자 노름을 추정하는 것.
• 함수 $f \in B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$ 에 대해 $\|\mathfrak{D}^{[1]}f\|_{L^\infty \otimes_h L^\infty \otimes^h L^\infty} \leq \text{const} \cdot \|f\|_{B_{\infty,1}^1}$ 를 증명하는 것.
• 유니터리 연산자에 대해 유사한 공식과 토러스 $\mathbb{T}^2$ 에서의 노름 추정을 통해 결과를 확장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어느 함수 $f$ 에 대해 $\mathbb{R}^2$ 에서의 사상 $(A,B) \mapsto f(A,B)$ 가 $1 \leq p \leq 2$ 에서 $\mathbf{S}_p$ 노름에서 리프시츠 성질을 가지는가?
• RQ2 함수 $f$ 가 베소프 공간 $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$ 에 속할 경우, $\mathbf{S}_p$ 에서 리프시츠 성질을 확보할 수 있으며, 이 조건이 날카로운가?
• RQ3 왜 연산자 노름과 $\mathbf{S}_p$ 에서 $p > 2$ 에서는 리프시츠 추정이 실패하는가, 심지어 $f \in B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$ 이더라도?
• RQ4 어떻게 새로운 텐서곱 구조를 활용하여 슈체텐–von Neumann 노름에서 삼중 연산자 적분을 추정할 수 있는가?
• RQ5 나누어진 차분 $\mathfrak{D}^{[1]}f$ 와 $\mathfrak{D}^{[2]}f$ 는 비가환 연산자 이론의 외부 변화 이론에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 함수 $f$ 가 베소프 공간 $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$ 에 속할 경우, $1 \leq p \leq 2$ 에서 $\mathbf{S}_p$ 노름에서 리프시츠 추정이 성립하며, 추정식 $\|f(A,B) - f(A',B')\|_{\mathbf{S}_p} \leq \text{const} \cdot \|f\|_{B_{\infty,1}^1} \cdot \max\{\|A - A'\|_{\mathbf{S}_p}, \|B - B'\|_{\mathbf{S}_p}\}$ 이 성립한다.
• 리프시츠 성질은 연산자 노름이나 $p > 2$ 에서의 $\mathbf{S}_p$ 에서도 성립하지 않으며, 반례를 통해 이를 입증한다.
• 나누어진 차분 $\mathfrak{D}^{[1]}f$ 와 $\mathfrak{D}^{[2]}f$ 는 각각 하아거프 유사 텐서곱 $L^\infty \otimes_h L^\infty \otimes^h L^\infty$ 와 $L^\infty \otimes^h L^\infty \otimes_h L^\infty$ 에 속하며, 이들의 노름은 $\|f\|_{B_{\infty,1}^1}$ 으로 제어된다.
• 유니터리 연산자에 대해서도 $f \in B_{\infty,1}^1(\mathbb{T}^2)$ 이면 $1 \leq p \leq 2$ 에서 동일한 리프시츠 추정이 성립하며, $f$ 의 $B_{\infty,1}^1$-노름에 대한 동일한 의존성 구조를 가진다.
• 증명은 삼각함수 다항식과 커널 $\Xi_n$ 을 사용한 나누어진 차분의 분해에 기반하며, 이는 차분 몫의 행렬 노름에 대해 균일한 $L^2$-유형의 경계를 가능하게 한다.
• 결과는 날카롭다: $1 \leq p \leq 2$ 에서 $\mathbf{S}_p$ 에서 리프시츠 추정을 보장할 수 있는 함수 공간은 $B_{\infty,1}^1(\mathbb{R}^2)$ 보다 더 큰 공간이 될 수 없다.