[논문 리뷰] Functions of operators under perturbations of class $\bS_p$

А. Б. Александров, Vladimir Peller|ArXiv.org|2009. 08. 25.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $ A - B \in \mathbf{S}_p $ 인 경우에 대해 연산자 차분 $ f(A) - f(B) $ 와 고차원 차분 $ \Delta_K^m f(A) $ 에 대한 날카운 Schatten–von Neumann 노름 추정을 확립한다. 함수 $ f \in \Lambda_\alpha(\mathbb{R}) $, $ 1 < p < \infty $, $ 0 < \alpha < \infty $ 일 때, $ f(A) - f(B) \in \mathbf{S}_{p/\alpha} $ 임을 보여주며, 이는 unitary 연산자, 수축, 그리고 준교환자에 대한 결과로 확장된다. 또한 추적 공식과 $ \mathbf{S}_p $ 편향 하에서 Schatten 클래스에 속하는 데 필요한 조건을 제공한다.

ABSTRACT

This is a continuation of our paper \cite{AP2}. We prove that for functions $f$ in the Hölder class $Ł_\a(\R)$ and $1

연구 동기 및 목표

• Hölder–Zygmund 클래스 $ \Lambda_\alpha(\mathbb{R}) $ 에 속하는 함수 $ f $ 에 대해 $ A - B \in \mathbf{S}_p $ 이면 $ f(A) - f(B) $ 가 Schatten–von Neumann 클래스 $ \mathbf{S}_q $ 에 속하는지 결정하는 것.
• $ \|f(A) - f(B)\|_{\mathbf{S}_{p/\alpha}} $ 의 날카운 노름 추정을 $ \|A - B\|_{\mathbf{S}_p} $ 와 $ \|f\|_{\Lambda_\alpha} $ 에 따라 유도하는 것.
• 고차원 차분 $ \Delta_K^m f(A) $, 준교환자 $ f(A)Q - Qf(B) $, 단위 원과 단위 원판 위의 연산자에 대한 결과로 확장하는 것.
• $ A - B \in \mathbf{S}_p $ 인 하에서 $ f(A) - f(B) \in \mathbf{S}_q $ 를 만족시키기 위한 $ f $ 에 대한 필요 조건을 도출하고, 이차 차분에 대한 스펙트럼 이동 함수를 제안하는 것.

제안 방법

• 스펙트럼 측도를 포함하는 적분 연산자로 $ f(A) - f(B) $ 와 고차원 차분을 표현하기 위해 다중 연산자 적분 이론을 활용한다.
• 함수 $ \Lambda_\alpha(\mathbb{R}) $ 의 이중 분해와 이중 블록 $ f_n $ 의 추정을 통해 연산자 차분의 특이값을 제어한다.
• quasi-노름 이상수 이론과 Schatten 클래스 $ \mathbf{S}_p $ 의 맥락에서의 보간 및 주요화 기법을 적용한다.
• 이중 주파수 성분으로 분해하고 특이값 주요화를 통해 준교환자 $ f(A)Q - Qf(B) $ 의 추정을 수립한다.
• 이차 차분 $ f(A - K) - 2f(A) + f(A + K) $ 에 대한 스펙트럼 이동 함수와 추적 공식을 도입하며, Krein 추적 공식과 연결한다.
• Besov 및 Triebel–Lizorkin 공간의 결과를 활용하여 편향 이상수를 유지하는 함수 클래스를 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $ A - B \in \mathbf{S}_p $, $ 1 < p < \infty $ 일 때, $ f \in \Lambda_\alpha(\mathbb{R}) $ 인 어떤 함수들에 대해 $ f(A) - f(B) \in \mathbf{S}_{p/\alpha} $ 가 성립하는가?
• RQ2 $ \|f(A) - f(B)\|_{\mathbf{S}_{p/\alpha}} $ 의 날카운 노름 추정은 $ \|A - B\|_{\mathbf{S}_p} $ 와 $ \|f\|_{\Lambda_\alpha} $ 에 따라 어떻게 유도되는가?
• RQ3 unitary 연산자, 수축, 그리고 준교환자 $ f(A)Q - Qf(B) $ 에 대해서도 유사한 결과가 성립하는가?
• RQ4 $ A - B \in \mathbf{S}_p $ 인 하에서 $ f(A) - f(B) \in \mathbf{S}_q $ 를 만족시키기 위한 $ f $ 에 대한 필요 조건은 무엇인가?
• RQ5 이차 차분 $ f(A - K) - 2f(A) + f(A + K) $ 에 대해 스펙트럼 이동 함수를 정의할 수 있으며, 해당하는 추적 공식은 무엇인가?

주요 결과

• $ f \in \Lambda_\alpha(\mathbb{R}) $ 이고 $ 1 < p < \infty $ 이면, $ A - B \in \mathbf{S}_p $ 이면 $ f(A) - f(B) \in \mathbf{S}_{p/\alpha} $ 이며, $ \|f(A) - f(B)\|_{\mathbf{S}_{p/\alpha}} \leq c \|f\|_{\Lambda_\alpha} \|A - B\|_{\mathbf{S}_p} $ 이다.
• 준교환자에 대해 $ f(A)Q - Qf(B) \in \mathbf{S}_{p/\alpha} $ 이며, $ \|f(A)Q - Qf(B)\|_{\mathbf{S}_{p/\alpha}} \leq c \|f\|_{\Lambda_\alpha} \|Q\|^{1-\alpha} \|AQ - QB\|_{\mathbf{S}_p}^{\alpha} $ 이다.
• $ f \in \Lambda_\alpha(\mathbb{R}) $ 이면 고차원 차분 $ \Delta_K^m f(A) \in \mathbf{S}_{p/\alpha} $ 이며, 노름 추정은 $ \|K\|_{\mathbf{S}_p} $ 에 따라 달라진다.
• 이차 차분에 대한 스펙트럼 이동 함수는 추적 공식을 만족한다: $ \operatorname{Tr}\big( f(A - K) - 2f(A) + f(A + K) \big) = \int \xi(\lambda) \, d\lambda $, $ \xi \in L^1 $.
• $ A - B \in \mathbf{S}_p $ 인 하에서 $ f(A) - f(B) \in \mathbf{S}_q $ 를 만족시키기 위한 $ f $ 에 대한 필요 조건이 도출되었으며, 이는 Besov 공간 소속성 $ B_{\infty 1}^\alpha(\mathbb{R}) $ 와 연결된다.
• $ AQ - QB \in \mathbf{S}_1 $ 이면 $ f(A)Q - Qf(B) \in \mathbf{S}_{1/\alpha, \infty} $ 이며, $ \|f(A)Q - Qf(B)\|_{\mathbf{S}_{1/\alpha, \infty}} \leq c \|f\|_{\Lambda_\alpha} \|Q\|^{1-\alpha} \|AQ - QB\|_{\mathbf{S}_1}^{\alpha} $ 이다.