[논문 리뷰] Functions which are PN on infiitely many extensions of Fp, p odd

Elodie Leducq|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 14.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 홀수 소수 $p$에 대해, $\mathbb{F}_p$의 무한한 확장에서만 완전히 비선형(PN)인 거듭제곱 매핑 $x \mapsto x^m$는 $m = 1 + p^l$인 경우, 즉 양의 정수 $l$에 대해 성립함을 증명한다. 베주 정리와 다항함수 $h(x,y) = \frac{(x+1)^m - x^m - (y+1)^m + y^m}{x-y}$의 특이점 분석을 통해, $m \equiv 1 \mod p$를 만족하는 다른 모든 $m$은 절대적으로 기약인 인수를 가지며, 이는 큰 확장에서 PN 성질을 위반함을 보여준다.

ABSTRACT

Let $p$ be an odd prime number. We prove that for $m\equiv1\mod p$, $x^m$ is perfectly nonlinear over $\mathbb{F}_{p^n}$ for infinitely many $n$ if and only if $m$ is of the form $p^l+1$, $l\in\mathbb{N}$. First, we study singularities of $f(x,y)=\frac{(x+1)^m-x^m-(y+1)^m+y^m}{x-y}$ and we use Bezout theorem to show that for $m eq 1+p^l$, $f(x,y)$ has an absolutely irreducible factor. Then by Weil theorem, f(x,y) has rationnal points such that $x eq y$ which means that $x^m$ is not PN.

연구 동기 및 목표

• 홀수 소수 $p$에 대해, $\mathbb{F}_p$의 무한한 확장에서 완전히 비선형(PN)인 모든 거듭제곱 매핑 $x \mapsto x^m$을 특성화하는 것.
• 특성 2에서의 APN 함수에 사용된 접근 방식을 특성 2가 아닌 경우, 즉 홀수 특성에서 PN 경우로 확장하는 것.
• $m \equiv 1 \mod p$를 만족하는 $m$ 중에서 $x^m$이 무한한 $\mathbb{F}_{p^n}$에서 여전히 PN인 경우가 $m = 1 + p^l$ 외에 존재하는지 판단하는 것.

제안 방법

• 거듭제곱 매핑 $x^m$의 PN 조건을 포함하는 다항함수 $h(x,y) = \frac{(x+1)^m - x^m - (y+1)^m + y^m}{x-y}$를 분석한다.
• 베주 정리를 적용하여 $h$의 성분들의 총 교차 수를 유계화하고, 이는 특이점의 제곱 승수의 합과 관련지어 분석한다.
• 특이점 분석을 통해 $h$의 특이점의 승수를 계산하며, 특히 $m \equiv 1 \mod p$인 경우에 초점을 맞추고, 가능한 인수 분해를 제약하는 부등식을 유도한다.
• 만약 $h$가 $\mathbb{F}_p$ 위에서 절대적으로 기약인 인수를 가진다면, $x^m$은 큰 확장 $\mathbb{F}_{p^n}$에서 PN일 수 없음을, 유리점의 수에 대한 점수 제약을 통해 보여준다.
• 갈루아 수축과 프로베누스 자기동형사상의 논리를 활용하여, $\gcd(m-1, p-1) > 1$이면 $h$는 $\mathbb{F}_p$ 위에서 절대적으로 기약인 인수를 가져야 하며, 이는 비-PN 행동을 유도함을 보여준다.
• 만약 $m \neq 1 + p^l$이면서 $m \equiv 1 \mod p$이면, 차수와 특이점 조건이 모순을 일으키며, 이는 $h$가 절대적으로 기약인 인수를 가져야 함을 의미하므로, 큰 $n$에 대해 PN 행동이 불가능함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 홀수 소수 $p$에 대해, $\mathbb{F}_p$의 무한한 확장에서 완전히 비선형(PN)인 거듭제곱 매핑 $x \mapsto x^m$는 무엇인가?
• RQ2 특성 2에서의 APN 함수 특성화 방식을 유사하게 응용하여, 홀수 특성에서 PN 함수를 특성화할 수 있는가?
• RQ3 다음 조건을 만족하는 $m \equiv 1 \mod p$이고 $m \neq 1 + p^l$인 경우가 존재하는가? $x^m$이 무한한 $\mathbb{F}_{p^n}$에서 여전히 PN인가?
• RQ4 다항함수 $h(x,y)$는 홀수 특성의 유한체에서 $x^m$의 PN 성질을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 홀수 소수 $p$에 대해, $\mathbb{F}_p$의 무한한 확장에서만 PN인 거듭제곱 매핑 $x \mapsto x^m$은 유일하게 $m = 1 + p^l$인 경우, 즉 양의 정수 $l$에 대해 성립한다.
• 만약 $m \equiv 1 \mod p$이면서 $m \neq 1 + p^l$이면, 다항함수 $h(x,y)$는 $\mathbb{F}_p$ 위에서 절대적으로 기약인 인수를 가지며, 이는 $x^m$이 충분히 큰 $n$에 대해 $\mathbb{F}_{p^n}$에서 PN이 아님을 의미한다.
• 차수 제약 조건 $\deg(h)^2 \leq \sum_t m_t(h)^2$는 $m \neq 1 + p^l$이면서 $m \equiv 1 \mod p$라는 가정 하에 모순을 일으키며, 이는 $m = 1 + p^l$이어야 함을 시사한다.
• 만약 $\gcd(m-1, p-1) > 1$이면, $\mathbb{F}_p$ 내에 $p$-유리수 원주율이 존재하므로 $h$는 $\mathbb{F}_p$ 위에서 절대적으로 기약인 인수를 가져야 하며, 이는 비-PN 행동을 유도한다.
• $m = p^l(p^l - 1) + 1$의 경우가 제외되는데, 이는 홀수이므로 $x=0,1$이 모두 $(x+1)^m - x^m = 1$을 만족하기 때문에, $\mathbb{F}_p$에서 PN 함수를 유도할 수 없기 때문이다.
• 증명은 위르의 유형 추정치를 통해 $h$의 성분 위의 유리점 수를 유계화하는 데 의존하며, 절대적으로 기약인 인수는 $\phi(x+a) - \phi(x) = b$의 추가 해를 유도하여 PN 조건을 위반함을 보여준다.