[논문 리뷰] Functorial products for $GL_2 imes GL_3$ and the symmetric cube for $GL_2$

Henry H. Kim, Freydoon Shahidi외 2명|arXiv (Cornell University)|2004. 09. 30.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 28인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 $\mathrm{GL}_2 \times \mathrm{GL}_3$에 대한 함자적 곱의 존재성을 확립하고, 장론즈-샤히디 방법과 역정리들을 사용하여 오랫동안 추측되어 온 $\mathrm{GL}_2$ 자동형 양식에 대한 대칭 세제곱 함자성의 정당성을 입증한다. 핵심 결과는 마스 형식의 히케 고유값에 대한 새로운 경계값 $5/34$를 도출한 것으로, 이는 이전의 $1/6$ 장벽을 뛰어넘고 라만두잔-페테르슨 및 세르베르 추측의 진전을 이룬다.

ABSTRACT

In this paper we prove two new cases of Langlands functoriality. The first is a functorial product for cusp forms on $GL_2 imes GL_3$ as automorphic forms on $GL_6$, from which we obtain our second case, the long awaited functorial symmetric cube map for cusp forms on $GL_2$. We prove these by applying a recent version of converse theorems of Cogdell and Piatetski-Shapiro to analytic properties of certain $L$-functions obtained from the method of Eisenstein series (Langlands-Shahidi method). As a consequence, we prove the bound 5/34 for Hecke eigenvalues of Maass forms over any number field and at every place, finite or infinite, breaking the crucial bound 1/6 (see below and Section 7 and 8) towards Ramanujan-Petersson and Selberg conjectures for $GL_2$. Many other applications are obtained.

연구 동기 및 목표

• 자기형 표현 $\mathrm{GL}_2 \times \mathrm{GL}_3$에 대한 함자적 곱이 $\mathrm{GL}_6$ 상의 자동형 형태로 존재함을 확립한다.
• 장론즈 프로그램에서 오랫동안 열려 있던 문제였던 $\mathrm{GL}_2$ 컷폼 자동형 양식에 대한 대칭 세제곱 함자성의 존재를 증명한다.
• 어떤 수체 위에서의 마스 형식의 히케 고유값에 대한 기존 경계를 향상시켜, 라만두잔-페테르슨 추측 향한 $1/6$ 장벽을 뛰어넘는다.
• 에이젠스타인 급수로부터 $L$-함수의 해석적 성질을 도출하기 위해 장론즈-샤히디 방법과 역정리를 적용한다.

제안 방법

• 장론즈-샤히디 방법을 사용하여 $\mathrm{GL}_6$ 상의 에이젠스타인 급수와 관련된 $L$-함수를 연구하고, 해석적 성질(예: 유리형 연속성, 함수방정식 등)을 추출한다.
• 코글델과 피아테츠키-샤피로의 최근 버전의 역정리를 적용하여, $L$-함수의 해석적 행동으로부터 텐서곱 표현 $\pi_1 \times \pi_2$의 자동형성을 도출한다.
• 국소 장론즈 대응을 활용하여, 전역 함자적 곱의 국소 성분 $\pi_{1v} \times \pi_{2v}$를 $\mathrm{GL}_6(F_v)$ 상의 기약 적응 표현으로 정의한다.
• 등급 자동형 표현의 분류를 이용하여, $\mathrm{GL}_2$ 컷폼 양식의 대칭 세제곱이 자동형임을 도출한다.
• $\varepsilon$-요소와 도수 이론을 사용하여 관련 표현의 $L$-함수와 $\varepsilon$-요소를 비교하고, 이차 확장으로의 기저 변경 하에서의 등식을 확립한다.
• 표현 $\mathrm{Sym}^3(\pi) = \mathrm{Ad}(\pi) \times \pi$ 를 이용하여, 대칭 세제곱 문제를 $\mathrm{GL}_2 \times \mathrm{GL}_3$ 함자적 곱 문제로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\mathrm{GL}_2 \times \mathrm{GL}_3$의 컷폼 양식에 대한 함자적 곱이 $\mathrm{GL}_6$ 상의 자동형 형태로 존재하는가?
• RQ2 $\mathrm{GL}_2$ 컷폼 양식의 대칭 세제곱은 자동형인가? 어떤 조건에서 컷폼인가?
• RQ3 마스 형식의 히케 고유값에 대한 경계는 $1/6$을 초월할 수 있으며, 이는 라만두잔-페테르슨 및 세르베르 추측에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 대칭 세제곱 함자성의 정확한 상은 무엇이며, 언제 컷폼인가?
• RQ5 역정리를 사용하여 $L$-함수의 해석적 자료로부터 자동형성을 어떻게 확립할 수 있는가?

주요 결과

• $\mathrm{GL}_2 \times \mathrm{GL}_3$ 컷폼 양식에 대한 함자적 곱 $\pi_1 \times \pi_2$ 는 $\mathrm{GL}_6$ 상에서 자동형이며, 이소바릭이고, 유니터리 컷폼 표현으로부터 기저를 이루는 기약적으로 유도된 형태이다.
• $\mathrm{GL}_2$ 컷폼 양식 $\pi$ 의 대칭 세제곱 $\mathrm{Sym}^3(\pi)$ 는 $\mathrm{GL}_4$ 상에서 자동형이며, $\pi$ 가 이황 또는 테트라헤드랄 유형이 아닐 경우 컷폼이다.
• 이 논문은 어떤 수체 위에서나 모든 유한 또는 무한 자리에서 마스 형식의 히케 고유값의 절대값에 대해 새로운 경계값 $5/34$를 확립한다.
• 이 경계는 이전의 $1/6$ 장벽을 뛰어넘었으며, $\mathrm{GL}_2$ 에 대한 라만두잔-페테르슨 추측 향한 중요한 진전을 이룬다.
• $F = \mathbb{Q}$ 이고 $\pi$ 가 $\geq 2$의 체적을 갖는 비이황형 힐베르트 모듈러 형식에 대응할 경우, 대칭 세제곱은 컷폼이다.
• 증명은 장론즈-샤히디 방법을 통한 $L$-함수의 해석적 성질과, $\varepsilon$-요소 및 도수 행동으로부터 자동형성을 도출하기 위한 역정리의 적용에 기반한다.