[논문 리뷰] Functorial prolongations of some functional bundles

Antonella Cabras, Josef Janyška외 1명|ArXiv.org|2004. 07. 19.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 28

한 줄 요약

이 논문은 동일한 기저 위에 있는 두 개의 다발에 대한 섬유 간의 매끄러운 사상으로 구성된 기능 다발의 함자적 연장함수를 소개한다. Weil 대수와 자연 변환을 사용하여 벡터장의 브라켓을 유지하는 연장함수를 정의하며, 이는 제트 연장함수를 일반화하고, 강한 차이와 Weil 다발 이론에 기반한 새로운 대수적 프레임워크를 통해 $T^A$ 및 $G$-연장함수 하에서 벡터장의 리 브라켓이 유지됨을 증명한다.

ABSTRACT

We discuss two kinds of functorial prolongations of the functional bundle of all smooth maps between the fibers over the same base point of two fibered manifolds over the same base. We study the prolongation of vector fields in both cases and we prove that the bracket is preserved. Our proof is based on several new results concerning the finite dimensional Weil bundles.

연구 동기 및 목표

• 공통 기저 위에 있는 다발의 섬유 간 매끄러운 사상의 기능 다발로 고전적 제트 연장함수를 일반화하는 것.
• Weil 대수와 자연 변환을 사용하여 이러한 기능 다발 위의 벡터장의 함자적 연장함수를 정의하고 연구하는 것.
• 무한차원 기능 다발의 경우에도 벡터장의 리 브라켓이 이러한 연장함수 하에서 유지됨을 증명하는 것.
• 주 다발과 관련 다발 구성 기법을 사용하여 교환 사상과 흐름 연장함수의 개념을 기능 다발으로 확장하는 것.
• Weil 함자와 섬유곱을 유지하는 다발 함자를 통해 연장함수를 통합하는 프레임워크를 제공하며, 이는 $J^r$ 및 $T^A$를 일반화하는 것.

제안 방법

• Weil 대수 $A$를 사용하여 Weil 다발의 공변 함자적 접근을 통해 기능 다발 ${\mathcal{F}}(E_1,E_2) \to M$ 의 $T^A$-연장함수를 정의한다.
• 연장함수 $T^A$ 와 교환 사상 $\kappa^A$ 를 조합한 분야 연장함수 연산자 ${{\mathcal{T}}}^{A}X = \kappa^{A}_{{\mathcal{F}}(E_1,E_2)} \circ T^{A}X$ 를 도입한다.
• Weil 대수의 맥락에서 강한 차이 개념을 적용하여 기능 다발 위의 리 브라켓을 대수적으로 특성화한다.
• $G$-연장함수의 경우, 군 준동형사상 $H: G^r_m \to \operatorname{Aut} A$ 를 사용하여 $G{\mathcal{F}}(E_1,E_2)$ 를 관련 다발 $P^rM[T^A{\mathcal{F}}(E_1,E_2), H_{{\mathcal{F}}(E_1,E_2)}]$ 의 부분다발로 구성한다.
• 제품 벡터장 $\{{\mathcal{P}}^r\xi, {\mathcal{T}}^A X\}$ 를 $G{\mathcal{F}}(E_1,E_2)$ 에 제한하여 새로운 연장함수 ${\mathcal{G}}X$ 를 정의함으로써 브라켓 유지 보장을 확보한다.
• 다양체의 경우에서의 사상 $\mu^G_E$ 를 기능 다량으로 확장하여 $\mu^G_{{\mathcal{F}}(E_1,E_2)}$ 를 정의함으로써 ${\mathcal{G}}X = \mu^G_{{\mathcal{F}}(E_1,E_2)} \circ (j^r\xi \times_M GX)$ 를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 $T^A$-연장함수를 다발의 섬유 간 매끄러운 사상의 무한차원 기능 다량으로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 Weil 대수를 사용한 함자적 연장함수 하에서 기능 다량 ${\mathcal{F}}(E_1,E_2)$ 위의 벡터장 리 브라켓이 유지되는가?
• RQ3 기능 다량에 대한 $J^r$-연장함수의 적절한 일반화는 무엇이며, 섬유곱을 유지하는 다발 함수와의 관계는 어떠한가?
• RQ4 교환 사상과 관련 다량 구성의 개념을 다양체에서 기능 다량으로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ5 $G{\mathcal{F}}(E_1,E_2)$ 위의 벡터장 연장함수를 제트 연장함수와 $T^A$-연장함수의 관점에서 어떻게 나타내는 표준 사상이 존재하는가?

주요 결과

• 분야 연장함수 연산자 ${{\mathcal{T}}}^{A}X = \kappa^{A}_{{\mathcal{F}}(E_1,E_2)} \circ T^{A}X$ 는 흐름이 존재하지 않는 경우에도 기능 다량 ${\mathcal{F}}(E_1,E_2)$ 위의 벡터장 리 브라켓을 유지한다.
• $T^A$ 하에서의 브라켓 유지 보장은 Weil 대수의 강한 차이 개념에 기반한 순수 대수적 증명을 통해 확립되며, Weil 대수의 구조에 따라 강한 차이의 완전한 특성화가 이루어진다.
• $G$-연장함수의 경우 브라켓이 유지됨: $[{{\mathcal{G}}}X_1, {{\mathcal{G}}}X_2] = {{\mathcal{G}}}[X_1,X_2]$, 이는 관련 다량 위의 제품 벡터장 구성에 의해 입증된다.
• $G{\mathcal{F}}(E_1,E_2)$ 의 구성은 $J^r{\mathcal{F}}(E_1,E_2)$ 를 일반화하며, 특수한 경우 $G = (\mathbb{D}^r_m, \operatorname{id}, \operatorname{id})$ 에서 $J^r$ 이 복원된다.
• $F$-매끄러운 사상 $\mu^G_{{\mathcal{F}}(E_1,E_2)}$ 가 정의되어 ${{\mathcal{G}}}X = \mu^G_{{\mathcal{F}}(E_1,E_2)} \circ (j^r\xi \times_M GX)$ 를 만족하며, 이는 다양체의 경우를 기능 다량으로 확장한다.
• $H_{{\mathcal{F}}(E_1,E_2)}$-불변성 덕분에 ${{\mathcal{T}}}^{A}X$ 는 관련 다량 위의 잘 정의된 및 사영 가능한 벡터장을 유도하며, 이는 ${\mathcal{G}}X$ 의 구성에 기여한다.