[논문 리뷰] Functorial transfer between relative trace formulas in rank one

Yiannis Sakellaridis|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 28.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $\mathrm{SL}_2$ 또는 $\mathrm{PGL}_2$에 대한 $(X\times X)/G$-상대적 트레이스 공식과 Kuznetsov 공식 사이의 함자적 이행을 구축함으로써, 질량 수준이 1인 상대적 트레이스 공식 간의 이행을 수립한다. 이는 $L$-값 $L_X$를 포함하는 시험 측도 공간에 대한 전환 연산자를 정의함으로써 이루어지며, Fourier 합성에 의해 실현되고 기본 논리가 성립함을 증명함으로써, 트레이스 공식의 균일한 전역 비교를 가능하게 하고, 자동형 주기와 특수 $L$-값을 연결한다.

ABSTRACT

According to the Langlands functoriality conjecture, broadened to the setting of spherical varieties (of which reductive groups are special cases), a map between L-groups of spherical varieties should give rise to a functorial transfer of their local and automorphic spectra. The "Beyond Endoscopy" proposal predicts that this transfer will be realized as a comparison between the (relative) trace formulas of these spaces. In this paper we establish the local transfer for the identity map between L-groups, for spherical affine homogeneous spaces X=H\G whose dual group is SL(2) or PGL(2) (with G and H split). More precisely, we construct a transfer operator between orbital integrals for the (X x X)/G-relative trace formula, and orbital integrals for the Kuznetsov formula of PGL(2) or SL(2). Besides the L-group, another invariant attached to X is a certain L-value, and the space of test measures for the Kuznetsov formula is enlarged, to accommodate the given L-value. The fundamental lemma for this transfer operator is proven in a forthcoming paper of Johnstone and Krishna. The transfer operator is given explicitly in terms of Fourier convolutions, making it suitable for a global comparison of trace formulas by the Poisson summation formula, hence for a uniform proof, in rank one, of the relations between periods of automorphic forms and special values of L-functions.

연구 동기 및 목표

• 구성군이 $\mathrm{SL}_2$ 또는 $\mathrm{PGL}_2$인 구면적 다양체 $X = H\backslash G$에 대한 상대적 트레이스 공식과 $G^* = \mathrm{PGL}_2$ 또는 $\mathrm{SL}_2$에 대한 Kuznetsov 공식 간에 균일하고 함자적인 비교를 수립하기 위해.
• 상대적 트레이스 공식(여기서는 $L_X(\varphi)$를 포함)과 Kuznetsov 공식(여기서는 $1/L(\varphi,\mathrm{Ad},1)$를 포함) 간의 스펙트럼 가중치 불일치를 보완하기 위해 시험 측도 공간을 확장하기 위해.
• Kuznetsov 몫 공간의 슈바르츠 측도에서 상대적 트레이스 공식 공간의 측도로 가는 명시적 전환 연산자 $\mathcal{T}$를 구축하고, Poisson 합성과 호환되도록 하기 위해.
• 함자적 이행을 트레이스 공식 비교를 통해 실현함으로써 질량 수준 1에서 일반화된 Ichino–Ikeda 추측의 전역 증명을 위한 기초 단계를 마련하기 위해.

제안 방법

• 전환 연산자 $\mathcal{T}$는 $X\times X/G$에서의 궤도 적분과 $G^*$에 대한 Kuznetsov 공식 사이의 Fourier 합성으로 명시적으로 구성된다.
• Kuznetsov 공식의 시험 측도 공간은 상대적 트레이스 공식의 스펙트럼 차이를 반영하기 위해 $L$-값 $L_X(\varphi)$를 포함하도록 확장된다.
• 이 구축은 $\mathfrak{c}_X^*$ 위의 아벨 군 스킴 $J$에 대한 Knop 이론과 닫힌 궤도에서의 $X\times X/G$의 블로우업 분해에 기반한다.
• 모멘트 사상 $\mu_{\mathrm{inv}}: T^*X \to \mathfrak{c}_X^*$와 그 분해 $\widehat{T^*X}$는 보렐 궤도와 불변론적 몫을 분석하는 데 사용된다.
• 슈바르츠 측도는 블로우업으로 끌어올려서 $\mathfrak{c}_X^*$로 밀어내지며, 이는 몫 공간 위에서의 통합을 가능하게 한다.
• 전환 연산자의 기본 논리는 Johnstone와 Krishna의 동반 논문에서 증명되었으며, 이는 트레이스 공식 항등식과의 호환성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 구성군이 $\mathrm{SL}_2$ 또는 $\mathrm{PGL}_2$인 구면적 다양체 $X$에 대한 상대적 트레이스 공식의 스펙트럼 측면을 $G^*$에 대한 Kuznetsov 공식과 어떻게 비교할 수 있는가?
• RQ2 상대적 트레이스 공식의 $L$-인자 $L_X(\varphi)$를 반영하기 위해 Kuznetsov 공식의 시험 측도 공간은 어떻게 수정되어야 하는가?
• RQ3 Fourier 합성에 의해, 상대적 트레이스 공식과 Kuznetsov 공식의 궤도 적분 간에 선형 전환 연산자를 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ4 특히 $G$에 대한 $X\times X/G$의 불변론적 구조, 특히 그 블로우업과 몫 구조는 전환의 구축에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 이 구축은 Poisson 합성에 의해 트레이스 공식의 전역 비교를 얼마나 잘 가능하게 하는가? 이는 자동형 주기와 $L$-값 간의 관계로 이어지는가?

주요 결과

• 표준 상대적 트레이스 공식 공간으로의 전환 연산자 $\mathcal{T}: \mathcal{S}^{-}_{L_X}(N_\psi\backslash G^*/N_\psi) \xrightarrow{\sim} \mathcal{S}(X\times X/G)$가 명시적으로 구성되었으며, 확장된 Kuznetsov 공간에서의 측도로의 사상이다.
• 전환 연산자는 Fourier 합성으로 실현되어, Poisson 합성에 의한 전역 비교에 적합하며, 주기–$L$-함수 관계의 균일한 증명을 가능하게 한다.
• Kuznetsov 공식의 시험 측도 공간은 $L$-값 $L_X(\varphi)$를 포함하도록 체계적으로 확장되었으며, 이는 상대적 트레이스 공식과의 스펙트럼 불일치를 수정한다.
• 전환 연산자의 기본 논리는 Johnstone와 Krishna의 동반 논문에서 증명되었으며, 국소적 이행의 타당성과 트레이스 공식 항등식과의 호환성을 보장한다.
• 이 구축은 질량 수준 1에서 'Beyond Endoscopy' 제안의 구체적 실현을 제공하며, 함자성과 트레이스 공식 비교를 연결한다.
• 이 방법은 일반화된 Ichino–Ikeda 추측에 대해 질량 수준 1의 구면적 다양체에서 자동형 주기와 특수 $L$-함수 값 간의 관계를 설정하는 프레임워크를 수립한다.