[논문 리뷰] Functoriality and the Inverse Galois problem II: groups of type B_n and G_2

Chandrashekhar Khare, Michael Larsen외 1명|ArXiv.org|2008. 07. 05.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 20인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유한 단순군 B_n 및 G_2를 Q 위에서 갈로아 군으로 실현하기 위해 함자성 기반 방법을 확장한다. 이를 위해 각각 Sp_{2n} 및 G_2에서 GL_{2n+1} 및 GL_7로의 함자성 이송을 통해 자동형 표현을 사용한다. 특히 p=2에서의 국소 성분을 제어하고, B_n의 경우 p=2에서의 자기쌍대 초등표준 표현을, G_2의 경우 Shin의 정밀화를 통해 자동형 표현을 구성함으로써, 임의의 t>0에 대해 t로 나누어지는 k가 존재하여 SO_{2n+1}(F_{ℓ^k})^{der} 또는 G_2(F_{ℓ^k})가 Q 위에서 {∞, ℓ, q} 이외에 분할되지 않은 갈로아 군으로 실현됨을 증명한다.

ABSTRACT

For every finite field F and every positive integer r, there exists a finite extension F' of F such that either SO(2r+1,F') or its simple derived group can be realized as a Galois group over Q. If the characteristic of F is 3 or 5 (mod 8), then we can guarantee that the derived group of SO(2r+1,F') can be realized. Likewise, for every finite field F, there exists a finite extension F' of F such that the finite simple group G_2(F') can be realized a Galois group over Q. The proof uses automorphic forms to construct Galois representations which cut out Galois extensions of the desired type.

연구 동기 및 목표

• Q 위에서 B_n 및 G_2 유형의 유한 단순군에 대해 자동형 방법을 사용하여 역 갈로아 문제를 해결하는 것.
• p≠2일 때 GL_{2n+1}(Q_p)가 자기쌍대 초등표준 표현을 갖지 않는다는 장애를 극복하기 위해 p=2에서의 국소 성분을 활용하는 것.
• 이전 연구에서 C_n(ℓ^k)를 초월하여 예외적 및 고전군에 대해 함자성 기반 갈로아 표현을 확장하는 것.
• 주어진 t에 대해 t로 나누어지는 임의의 큰 k에 대해 SO_{2n+1}(F_{ℓ^k})^{der} 및 G_2(F_{ℓ^k})와 동형인 갈로아 군이 존재함을 입증하는 것.

제안 방법

• Cogdell-Kim-Piatetski-Shapiro-Shahidi 및 Jiang-Soudry의 방법을 통해 Sp_{2n}에서 GL_{2n+1}로의 글로벌 함자성 이송을 사용하여 GL_{2n+1}(A) 위의 자기쌍대 초등표준 자동형 표현을 구성한다.
• p=2에서의 국소 성분이 깊이 1인 자기쌍대 초등표준 표현이 되도록 보장하며, 이 표현의 Langlands 매개변수는 SO_{2n+1}(C)의 Jordan 부분군을 포함한다.
• Shin의 Langlands 매개변수 정리 정밀화를 활용하여 유한한 자리에서의 정적분 가능성을 요구하지 않고 ℓ-진 갈로아 표현을 구성함으로써 G_2에 적용 가능하게 한다.
• ℓ-진 표현을 모듈로 ℓ로 줄여내며, 국소 갈로아 이미지의 깊은 임베딩 성질을 이용하여 잔여 이미지가 B_n 또는 G_2 유형의 단순군이 되도록 보장한다.
• 분할성을 제어하기 위해 q≠2인 소수 q를 선택하여 Π_q가 깊이 0의 초등표준 표현이 되도록 하여 {∞, ℓ, q} 이외에 분할되지 않도록 보장한다.
• E_7의 최소 표현에서의 토타 대응을 통해 G_2에서 Sp_6로, 다시 GL_7로의 이송을 통해 G_2에 필요한 자동형 표현을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함자성 및 자동형 형식을 사용하여 B_n 및 G_2 유형의 유한 단순군을 Q 위에서 갈로아 군으로 실현할 수 있는가?
• RQ2 p≠2일 때 자기쌍대 초등표준 표현이 존재하지 않기 때문에 p=2에서의 국소 성분을 제어하는 자기쌍대 초등표준 자동형 표현을 GL_{2n+1}에서 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 Shin의 Langlands 매개변수 정리 정밀화는 ℓ-진 갈로아 표현 구성에서 정적분 가능성 조건을 피할 수 있도록 어느 정도까지 활용될 수 있는가?
• RQ4 ℓ-진 갈로아 표현의 모듈로 ℓ 축소가 B_n 또는 G_2 유형의 단순군이 되도록 보장하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 이 방법은 ℓ-진 표현을 그룹의 자동형 형식에 연결할 수 있다면 F_4와 같은 다른 예외적 군으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 양의 정수 t와 소수 ℓ에 대해, t로 나누어지는 k가 존재하여 G_2(F_{ℓ^k})가 Q 위에서 {∞, ℓ, q} 이외에 분할되지 않은 갈로아 군으로 실현된다.
• 홀수 소수 ℓ에 대해, t로 나누어지는 k가 존재하여 SO_{2n+1}(F_{ℓ^k})^{der} 또는 SO_{2n+1}(F_{ℓ^k})가 Q 위에서 갈로아 군으로 실현된다.
• ℓ≡3,5(mod 8)일 때, SO_{2n+1}(F_{ℓ^k})^{der}는 Q(√−ℓ)에서 2의 분할 성질로 인해 Q 위에서 실현된다.
• B_n의 구성은 p=2에서의 자기쌍대 초등표준 표현과 Jordan 부분군의 이미지를 포함하는 깊이 1 표현에 의존하며, 이는 갈로아 이미지 내의 깊은 임베딩과 모듈로 ℓ 축소의 제어를 보장한다.
• G_2의 경우 Shin의 정밀화를 활용함으로써 정적분 가능성을 요구하지 않고 ℓ-진 표현을 구성할 수 있어 G_2(F_{ℓ^k})가 갈로아 군으로 실현된다.
• 이 방법은 ℓ-진 표현이 그룹의 자동형 형식에 연결될 수 있다면 F_4와 같은 다른 예외적 군으로의 역 갈로아 문제 확장에 프레임워크를 제공한다.