[논문 리뷰] Functoriality of Automorphic L-Invariants and Applications

Lennart Gehrmann|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 03.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 17인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 전체 실수 체 위의 평행 무게 2인 GL(2) 자동형 표현에 대해 아벨 기저 변경과 자크-랑글랑 전환에 대한 자동형 L-불변량의 함자성(functoriality)을 확립한다. 표준적인 비영함수 가정 하에, 자동형 L-불변량이 기저 변경에 대해 불변임을 증명하고, p-진 L-함수의 보간을 통해 산술 L-불변량과 부호를 제외한 채로 일치함을 보인다. 핵심 결과는 함수자성과 타이트 주기의 초월성에 기반한 새로운 증명으로, 전체 실수 체 위의 모듈라 타원곡선에 대한 예외적 영점 공식을 부호의 모호성을 해결하면서 재확인한다.

ABSTRACT

We study the behaviour of automorphic L-Invariants associated to cuspidal representations of GL(2) of cohomological weight 0 under abelian base change and Jacquet-Langlands lifts to totally definite quaternion algebras. Under a standard non-vanishing hypothesis on automorphic L-functions and some technical restrictions on the automorphic representation and the base field we get a simple proof of the equality of automorphic and arithmetic L-invariants. This together with Spiess' results on p-adic L-functions yields a new proof of the exceptional zero conjecture for modular elliptic curves - at least, up to sign.

연구 동기 및 목표

• 전체 실수 체 위의 GL(2) 자동형 표현에 대해 아벨 기저 변경과 자크-랑글랑 전환에 대한 자동형 L-불변량의 함자성 행동을 확립한다.
• 전체 실수 체 위의 모듈라 타원곡선에 대해 자동형 L-불변량과 산술 L-불변량의 등가성을 부호를 제외한 채로 증명한다.
• Hida 가닥에 의존하지 않는, p-진 L-함수와 타이트 주기의 초월성에 기반한 모듈라 타원곡선에 대한 예외적 영점 추측의 새로운 증명을 제공한다.

제안 방법

• Spieß의 p-진 L-함수 보간 결과를 활용하여 자동형 L-불변량과 p-진 L-함수의 도함수를 연결한다.
• p-진 L-함수에 대한 아르틴 형식주의를 적용하여 기저 변경에 따른 L-불변량의 불변성을 증명한다.
• 쿼aternionic 스티켈베르거 원소와 Bergunde의 Spieß의 예외적 영점 공식의 일반화를 활용하여 기저 변경된 L-불변량과 자크-랑글랑 승화된 L-불변량을 연결한다.
• Cerednik-Drinfeld의 균일화를 사용하여 쿼aternionic 자동형 표현의 L-불변량과 산술 L-불변량을 연결한다.
• Lemma 1.3을 적용하여 L-불변량 등식의 부호 모호성에서 발생하는 유한한 예외 케이스를 제어한다.
• Tate 주기의 초월성(Barré-Sirieix 등)을 적용하여 자동형 L-불변량과 산술 L-불변량의 등식에서 발생하는 부호 모호성을 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GL(2) 자동형 표현에 대해 전체 실수 체 위에서 아벨 기저 변경에 대해 자동형 L-불변량이 함자적으로 행동하는가?
• RQ2 Hida 가닥이나 오일러 시스템에 의존하지 않고 자동형 L-불변량과 산술 L-불변량의 등가성을 확립할 수 있는가?
• RQ3 자동형 L-불변량은 전체 정부정 quaternion 대수로의 자크-랑글랑 전환에 따라 어떻게 변하는가?
• RQ4 산술 L-불변량과 자동형 L-불변량의 등식에서 발생하는 부호 모호성은 초월수 이론을 통해 제거 가능한가?
• RQ5 함자성과 p-진 L-함수 보간을 통해 모듈라 타원곡선에 대한 예외적 영점 공식을 재증명할 수 있는가?

주요 결과

• 기저 변경에 대해 자동형 L-불변량이 불변임이 Corollary 3.7에 의해 입증된다.
• 모든 수체수 F에 대해 자동형 L-불변량은 무한대에서의 부호에 영향을 받지 않으며, Theorem A에 의해 입증된다.
• GL(2) 표현 π의 자동형 L-불변량은 전체 정부정 quaternion 대수로의 자크-랑글랑 승화 πB와 부호를 제외한 채 일치한다. 이는 Theorem B에 의해 증명된다.
• 자동형 L-불변량과 산술 L-불변량의 등식에서 발생하는 부호 모호성은 타이트 주기의 초월성에 의해 해결되어 Theorem C에서 정확한 등식을 도출한다.
• 함자성과 p-진 L-함수 보간을 활용하여 전체 실수 체 위의 모듈라 타원곡선에 대한 예외적 영점 추측에 대한 새로운 증명을 얻었으며, 이는 부호를 제외한 채로 유효하다.
• 모든 전체 허수 이차 확장 E에 대해 ˜p가 분할되는 경우, Lp(qA,˜p) = Lcyc(πE, q)가 성립함을 확인하여 부호 해결이 타당함을 증명한다.