[논문 리뷰] Functors and Computations in Floer homology with Applications Part II

Claude Viterbo|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 03.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 4인용 수 169

한 줄 요약

논문은 Floer 코호몰로지가 GF-homology와 동형임을 보이고 FH*(DT*N)가 H*(ΛN)와 동형임을 생성 함수와 기울기 흐름 분석을 통해 보인다.

ABSTRACT

The results in this paper concern computations of Floer cohomology using generating functions. The first part proves the isomorphism between Floer cohomology and Generating function cohomology introduced by Lisa Traynor. The second part proves that the Floer cohomology of the cotangent bundle (in the sense of Part I), is isomorphic to the cohomology of the loop space of the base. This has many consequences, some of which were given in Part I (GAFA, Geom. funct. anal. Vol. 9 (1999) 985-1033), others will be given in forthcoming papers. The results in this paper had been announced (with indications of proof) in a talk at the ICM 94 in Z{ü}rich. Up to typos, this is the revised version from 2003.

연구 동기 및 목표

• Floer 코호몰로지를 제네레이팅 함수를 사용하여 계산하려는 동기를 제시한다.
• Lagrangian 쌍에 대해 Floer 코호몰로지와 GF-동형성 사이의 동형성을 확립한다.
• DT*N의 코토탄젠트 번들의 Floer 코호몰로지가 루프 공간 코호몰로지 H*(ΛN)와 같음을 보인다.
• Part I의 결과를 확장하고 루프 공간 위상학 응용의 기초를 마련한다.

제안 방법

• Lagrangian 부분집합에 대해 이차적으로 무한대에서의 제네레이팅 함수 S를 정의하고 사용한다.
• A_H를 구성하여 작용 A와 제네레이팅 함수 S 사이를 보간하고, 적분점과 Floer 궤적을 통해 FH*(L0,L1; a,b) 를 정의한다.
• Floer 복합체를 GF 코호몰로지와 비교하여 FH*(L0,L1; a,b) ≃ GF*(L0,L1; a,b) 를 보인다.
• 대각 부분다, 그래프의 동형 및 Conley 지수를 포함하는 동형사 모음을 통해 DT*N Floer 코호몰로지가 루프 공간 코호몰로지 H*(ΛN)와 연결되도록 한다.
• 그래디언트 유사 흐름과 거의 복합 구조를 사용하여 Floer 궤적을 제네레이팅 함수의 Morse 이론적 궤적과 연결한다.
• Legendre 쌍대성 및 작용 함수 분석을 활용하여 해밀토니언 Floer 이론을 루프 공간 함수로 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제너레이팅 함수가 무한대에서 이차적인 L0,L1 쌍에 대해 FH*(L0,L1; a,b) 가 GF*(L0,L1; a,b) 와 같을까?
• RQ2 DT*N의 코토탄젼트 번들에 대해 FH*(DT*N) 가 바닥 공간의 루프 공간의 코호몰로지 H*(ΛN) 와 동형인가?
• RQ3 Floer 이론을 제네레이팅 함수 및 루프 공간 코호몰로지에 연결하는 중간 동형성 및 구성(예: 대각선 트릭, 그래프押) 은 무엇인가?
• RQ4 그래디언트 흐름 섭동과 Conley 지수 기법이 Floer–GF–루프 공간 동형성에 어떻게 빛을 비추는가?

주요 결과

• FH*(L0,L1; a,b) 은 무한대에서 이차적인 제네레이팅 함수에 대해 GF*(L0,L1; a,b) 와 동형이다.
• For cotangent 번들에 대해 FH*(DT*N) 은 H*(ΛN) 와 동형이다.
• 동형성 프레임워크는 S^1-동등 코호몰로지로 일반화 가능하며 유리 계수로도 가능하다.
• 이 논문은 Floer 궤적이 제네레이팅 함수 S 의 그래디언트 궤적에 대응한다는 것을 A_H 보간과 적합한 거의 복합 구조를 통해 보여주는 상세한 구성이다.