[논문 리뷰] Functors of wrapped Fukaya categories from Lagrangian correspondences

Yuan Gao|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 01.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 8인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 분할형 및 이차형 해밀토니안을 사용하여 제품 리우빌 다양체의 랑그랑주 코herency 카테고리 간의 체인 수준 동치를 확립함으로써, 쿠이트드 플로어 이론 프레임워크를 가능하게 한다. 임베딩의 완비화된 그래프와 관련된 Viterbo 제약 함수자와 동치임을 증명하고, 임베디드된 랑그랑주 코herency 카테고리로부터 $A_\infty$-함수를 구성하며, 제품 다양체의 랑그랑주 코herency 카테고리에 대한 일반적인 쿠니히트 공식을 제공한다.

ABSTRACT

We study wrapped Floer theory on product Liouville manifolds and prove that the wrapped Fukaya categories defined with respect to two different kinds of natural Hamiltonians and almost complex structures are equivalent. The implication is we can do quilted version of wrapped Floer theory, based on which we then construct functors between wrapped Fukaya categories of Liouville manifolds from certain classes of Lagrangian correspondences, by enlarging the wrapped Fukaya categories appropriately, allowing exact cylindrical Lagrangian immersions. For applications, we present a general Künneth formula, and also identify the Viterbo restriction functor with the functor associated to the completed graph of embedding of a Liouville sub-domain.

연구 동기 및 목표

• 제품 리우빌 다양체에서 분할형 해밀토니안과 이차형 해밀토니안을 사용할 때 체인 수준에서 랑그랑주 코히어런트 카테고리 정의의 기술적 모호성을 해결하기 위해.
• 특히 실린더형 또는 제품형 상응관계에 대해, 랑그랑주 코히어런트 카테고리 간의 $A_\infty$-함수를 구성하기 위해.
• 비차단된 정확한 실린더형 랑그랑주 임베딩과 바운딩 코히어런트를 포함하도록 랑그랑주 코히어런트 카테고리를 확장하여, 임베디드된 대상에 대한 함수성 가능성을 보장하기 위해.
• Viterbo 제약 함수자와 리우빌 부분다양체 포함에 대한 완비화된 그래프와 관련된 함수자 간의 동치를 규명하기 위해.
• 제품 다양체의 랑그랑주 코히어런트 카테고리에 대한 일반적인 쿠니히트 공식을 수립하기 위해.

제안 방법

• 행동 필터링을 사용하여 분할형과 표준형 랑그랑주 코히어런트 카테고리 간의 행동 제약 $A_\infty$-함수자 $R: \mathcal{W}^s(\mathbb{L}) \to \mathcal{W}(\mathbb{L})$를 구성한다.
• 쿠이트드 랑그랑주 플로어 코homology를 적용하여 $\mathcal{W}(M^{-} \times N)$ 에서 $(\mathcal{W}(M), \mathcal{W}(N))$-이중모듈러스 카테고리로의 $A_\infty$-함수를 정의한다.
• 비차단된 적절한 정확한 실린더형 랑그랑주 임베딩과 바운딩 코히어런트를 객체로 포함하는 임베디드 랑그랑주 코히어런트 카테고리 $\mathcal{W}_{\text{im}}(M)$ 을 도입한다.
• 두 번째 인자에 대해 요네다 임bedding을 적용하여 랑그랑주 상응관계 $\mathcal{L} \subset M^{-} \times N$ 와 관련된 $A_\infty$-함수자 $\Phi_{\mathcal{L}}: \mathcal{W}(M) \to \mathcal{W}_{\text{im}}(N)^{\text{l-mod}}$ 를 얻는다.
• 직접 극한의 계속 맵 $S_A$ 와 에너지 기반 필터링을 사용하여, 코체인 맵 $\Pi_\Gamma$ 가 계속 맵 $r^1$ 과 체인 호모토피임을 보여, 함수자 간의 준등형 동치를 증명한다.
• 기하학적 조건(가정 7.10)과 바운딩 코히어런트의 존재를 바탕으로, 임베디드 카테고리에서의 $A_\infty$-함수자 구조를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제품 다양체 $M \times N$ 에서 분할형 해밀토니안에 대해 정의된 랑그랑주 코히어런트 카테고리는 이차형 해밀토니안에 의해 정의된 표준 랑그랑주 코히어런트 카테고리와 준등형 동치인가?
• RQ2 쿠이트드 플로어 이론을 사용하여 랑그랑주 상응관계로부터 랑그랑주 코히어런트 카테고리 간의 $A_\infty$-함수를 구성할 수 있는가?
• RQ3 Viterbo 제약 함수자는 어떤 조건에서 리우빌 부분다양체 포함에 대한 완비화된 그래프와 관련된 함수자와 동치인가?
• RQ4 랑그랑주 상응관계 $\mathcal{L} \subset M^{-} \times N$ 와 관련된 함수자 $\Phi_{\mathcal{L}}$ 는 어떤 조건에서 임베디드 랑그랑주 코히어런트 카테고리로 확장되는가?
• RQ5 Viterbo 제약 함수자는 부분다양체에 완전히 포함되지 않은 랑그랑주 부분다양체로 확장될 수 있으며, 만약 그렇다면 이는 함수자 $\Theta_\Gamma$ 와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 분할형 모델 $\mathcal{W}^s(M \times N)$ 는 표준 랑그랑주 코히어런트 카테고리 $\mathcal{W}(M \times N)$ 과 준등형 동치이며, 행동 제약 함수자 $R$ 이 자연스러운 준등형 동치를 제공한다.
• $A_\infty$-함수자 $\Phi_{\mathcal{L}}: \mathcal{W}(M) \to \mathcal{W}_{\text{im}}(N)^{\text{l-mod}}$ 는 가정 7.10 하에서 랑그랑주 상응관계 $\mathcal{L} \subset M^{-} \times N$ 에 의해 구성되며, 쿠이트드 랑그랑주 플로어 코체인 복합체 $CW^*(L, \mathcal{L}, L')$ 의 값으로 취한다.
• 프로젝션 $\mathcal{L} \to N$ 이 올바르고 기하학적 가정이 성립할 경우, Viterbo 제약 함수자는 완비화된 그래프와 관련된 함수자와 동치임을 규명한다.
• 일반적인 쿠니히트 공식이 수립되어, $\mathcal{W}(M \times N)$ 이 $\mathcal{W}(M)$ 과 $\mathcal{W}(N)$ 의 $A_\infty$-텐서곱과 준등형 동치임을 보여준다.
• 직접 극한의 맵 $S_A$ 를 통한 에너지 기반 필터링을 사용하여, 코체인 맵 $\Pi_\Gamma$ 가 계속 맵 $r^1$ 과 체인 호모토피임을 보여, 함수자 $\Theta_\Gamma$ 와 $r$ 이 체인 수준에서 준등형 동치임을 증명한다.
• Viterbo 제약 함수자는 바운딩 코히어런트 $B$ 를 통한 $\mathcal{W}(U)$ 의 변형 $\mathcal{W}(U; B)$ 로 확장될 수 있으며, 이는 자연스러운 $A_\infty$-함수자 $r_B: \mathcal{W}(M) \to \mathcal{W}(U; B)$ 를 유도하며, 이는 $\mathcal{B}(M)$ 에서 원래 함수자와 일치한다.