[논문 리뷰] Fundamental limitations on optimization in variational quantum algorithms

Hao-Kai Zhang, Chengkai Zhu외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 05. 10.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무작위로 초기화된 파arameterized 양자 회로에 대해 국소 유니터리 변환에 의한 비용 함수의 변동 범위가 큐비트 수에 따라 지수적으로 감소함을 증명함으로써, 변분 양자 알고리즘(VQAs)에 대한 기본적인 제한을 규명한다. 이 결과는 바랜 플레이트오르(Barren Plateau) 현상의 통합 및 일반화를 가능하게 하며, 노이즈가 없더라도 높은 차원의 하이젠베르크 공간으로 인해 VQAs의 최적화가 본질적으로 지수적 스케일링 과제를 겪음을 드러낸다.

ABSTRACT

Exploring quantum applications of near-term quantum devices is a rapidly growing field of quantum information science with both theoretical and practical interests. A leading paradigm to establish such near-term quantum applications is variational quantum algorithms (VQAs). These algorithms use a classical optimizer to train a parameterized quantum circuit to accomplish certain tasks, where the circuits are usually randomly initialized. In this work, we prove that for a broad class of such random circuits, the variation range of the cost function via adjusting any local quantum gate within the circuit vanishes exponentially in the number of qubits with a high probability. This result can unify the restrictions on gradient-based and gradient-free optimizations in a natural manner and reveal extra harsh constraints on the training landscapes of VQAs. Hence a fundamental limitation on the trainability of VQAs is unraveled, indicating the essential mechanism of the optimization hardness in the Hilbert space with exponential dimension. We further showcase the validity of our results with numerical simulations of representative VQAs. We believe that these results would deepen our understanding of the scalability of VQAs and shed light on the search for near-term quantum applications with advantages.

연구 동기 및 목표

• 기울기 기반 분석을 초월하여 변분 양자 알고리즘(VQAs)의 학습 가능성에 대한 기본적 제한을 규명하고 형식화하는 것.
• 무작위로 파arameterized된 양자 회로에서 한 개의 국소 양자 게이트를 조정할 때 비용 함수의 변동 범위를 조사하는 것.
• 기울기 기반 및 기울기 비기반 최적화의 제약을 하나의 이론적 프레임워크로 통합하는 것.
• 고차원 양자 하이젠베르크 공간에서의 본질적 최적화 난이도를 설명하는 엄밀한 스케일링 정리를 제공하는 것.

제안 방법

• 무작위로 파arameterized된 양자 회로가 2-디자인을 이룰 경우, 국소 유니터리 변환에 따른 비용 함수의 기대 변동 범위가 큐비트 수에 따라 지수적으로 감소함을 증명한다.
• 무작위 회로를 모델링하기 위해 유니터리 1-디자인과 2-디자인을 사용하고, 민감도 분석을 위해 신뢰도 기반 경계를 적용한다.
• Bures 신뢰도와 양자 채널에 대한 단조성 성질을 활용하여 국소 최적화 중 최대 및 최소 달성 가능한 신뢰도에 대한 상한을 유도한다.
• 집중 부등식과 마르코프 부등식을 사용하여 변동 범위의 분산과 꼬리 확률을 경계한다.
• 비용 함수의 변동 범위에 대한 일반적인 상한을 dA/dB로 유도하며, 여기서 dA는 국소 하위계의 차원이고 dB는 나머지 시스템의 차원이다.
• 대표적인 VQA인 1D 반강자성 헤이젠베르크 모델에 대한 VQE에서 이론적 결과를 수치 시뮬레이션을 통해 검증하여 예측된 지수 감소율과 일치함을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무작위 VQA 회로에서 한 개의 국소 게이트를 최적화할 때 비용 함수의 변동 범위는 어떻게 스케일링되는가?
• RQ2 비용 함수의 변동 범위는 VQAs에서 기울기 소멸 문제와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 기울기 기반 및 기울기 비기반 최적화 제약을 통합할 수 있는 이론적 프레임워크는 존재하는가?
• RQ4 고차원 양자 시스템에서 최적화 난이도의 지수적 스케일링의 근본적 메커니즘은 무엇인가?
• RQ5 무작위 회로 구조와 디자인 특성(예: 2-디자인)은 VQAs의 학습 가능성에 얼마나 큰 영향을 미치는가?

주요 결과

• 국소 유니터리 변환에 따른 비용 함수의 기대 변동 범위는 큐비트 수에 따라 지수적으로 감소하며, 로그 스케일에서 감쇠율이 −0.5로 나타나 수치 시뮬레이션과 일치한다.
• 변동 범위에 대한 이론적 상한은 dA/dB이며, 국소 하위계가 m 큐비트이고 나머지 시스템이 n−m 큐비트일 경우 상한은 1/2n−2m가 된다.
• 변동 범위의 분산 역시 유한하고 지수적으로 감소하여, 무작위 회로에서는 국소 게이트의 변화에 비용 함수가 매우 민감하지 않음을 시사한다.
• 이 결과는 바랜 플레이트오르 현상을 통합하고 기울기 초월로 확장하여, 비용 함수의 차이조차도 지수적으로 소멸함을 보여준다.
• 1D 반강자성 헤이젠베르크 모델에 대한 VQE의 수치 시뮬레이션은 변동 범위 대 큐비트 수의 반로그 플롯에서 기울기가 −0.5로 예측된 지수 감소율을 확인한다.
• 분석 결과, 이론적 경계가 유효해지는 데 약 10×n의 회로 깊이에서 2-디자인으로의 전이가 발생함을 밝혀냈다.