[논문 리뷰] Fundamental Limits of Blind Deconvolution Part II: Sparsity-Ambiguity Trade-offs

Sunav Choudhary, Urbashi Mitra|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 11.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 25인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 표준 기저에서의 캐논리컬 스parser리티—보통 블라인드 디컨볼루션을 정규화하기 위해 사용되는 것—가 신호의 식별 가능성 보장을 위해 부족하다는 것을 입증한다. 신호 공간 내에 내재된 회전 불확실성 때문에 발생한다. 블라인드 디컨볼루션을 질량-일차 행렬 복원 문제로 모델링하고 컨볼루션 연산자의 질량-이중(null space)을 분석함으로써, 스케일링 법칙을 유도하여 스퍼스리티만으로는 식별 불가능한 신호 집합을 제거할 수 없음을 보여주며, 특히 반복 또는 기하학적으로 감쇠하는 신호와 같은 현실적인 코딩 제약 조건 하에서 더욱 그렇다.

ABSTRACT

Blind deconvolution is an ubiquitous non-linear inverse problem in applications like wireless communications and image processing. This problem is generally ill-posed since signal identifiability is a key concern, and there have been efforts to use sparse models for regularizing blind deconvolution to promote signal identifiability. Part I of this two-part paper establishes a measure theoretically tight characterization of the ambiguity space for blind deconvolution and unidentifiability of this inverse problem under unconstrained inputs. Part II of this paper analyzes the identifiability of the canonical-sparse blind deconvolution problem and establishes surprisingly strong negative results on the sparsity-ambiguity trade-off scaling laws. Specifically, the ill-posedness of canonical-sparse blind deconvolution is quantified by exemplifying the dimension of the unidentifiable signal sets. An important conclusion of the paper is that canonical sparsity occurring naturally in applications is insufficient and that coding is necessary for signal identifiability in blind deconvolution. The methods developed herein are applied to a second-hop channel estimation problem to show that a family of subspace coded signals (including repetition coding and geometrically decaying signals) are unidentifiable under blind deconvolution.

연구 동기 및 목표

• 표준 기저에서의 캐논리컬 스퍼스리티가 블라인드 디컨볼루션에서 식별 가능성 보장을 충분히 보장하는지 조사하기.
• 스퍼스리티 제약 조건 하에서 식별 불가능한 신호 집합의 차원을 정량화하여 본질적인 불안정성을 드러내기.
• 반복 코딩 및 기하학적으로 감쇠하는 신호와 같은 하위공간 코딩 신호의 식별 가능성 분석—특히 제2단계 채널 추정에서.
• 이차형 역문제의 선형 컨볼루션 연산자의 질량-이중(null space)에 대해 측도 이론적으로 날카로운 특성 기술 개발하기.
• 스퍼스리티만으로는 블라인드 디컨볼루션의 기본적인 불확실성을 극복할 수 없으며, 식별 가능성 확보를 위해 명시적 코딩 설계가 필요하다는 것을 입증하기.

제안 방법

• 비선형 이차형 역문제를 선형 문제로 전환하기 위해 레이징 기법을 사용해 블라인드 디컨볼루션을 질량-일차 행렬 복원 문제로 재구성하기.
• 상승된 선형 컨볼루션 연산자의 질량-이중(null space)을 분석하여 식별 불가능한 신호 쌍을 특성화하기.
• 식별 불가능한 신호 차원을 정량화하기 위해 부분적으로 매개변수화되고 재귀적으로 구조화된 null space 특성 기술 도출하기.
• 반복 및 기하학적으로 감쇠하는 신호를 포함한 하위공간 코딩 입력을 갖는 제2단계 채널 추정 모델에 이 프레임워크 적용하기.
• 측도 이론적으로 날카로운 경계를 사용해 스퍼스리티 및 코딩 제약 조건 하에서 식별 불가능한 신호 집합의 차원 정량화하기.
• 스퍼스리티 수준과 오해의 공간 차원 간의 관계를 보여주는 스케일링 법칙 유도하기. 이는 압축 측정 기반의 성능과 비교해 불리한 트레이드오프를 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 조건 하에서 표준 기저에서의 캐논리컬 스퍼스리티가 블라인드 디컨볼루션에서 식별 가능성을 보장할 수 있는가?
• RQ2 블라인드 디컨볼루션에서 입력 신호에 스퍼스리티 제약 조건을 적용할 경우, 식별 불가능한 신호 집합의 차원은 얼마인가?
• RQ3 반복 코딩 또는 기하학적으로 감쇠하는 신호와 같은 일반적으로 사용되는 코딩 기법들이 블라인드 디컨볼루션에서 식별 가능성을 보장하는 데 충분한가?
• RQ4 예를 들어 기하학적 감쇠와 같은 구조를 갖는 코딩 하위공간의 구조가 블라인드 디컨볼루션에서 오해의 공간에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 컨볼루션 연산자의 질량-이중(null space)을 정확한 식별 불가능한 신호 집합의 정량화를 가능하게 하는 방식으로 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 표준 기저에서의 캐논리컬 스퍼스리티는 스퍼스 벡터에 영향을 미치는 지속적인 회전 불확실성 때문에 블라인드 디컨볼루션에서 식별 가능성 보장을 위해 부족하다.
• 식별 불가능한 신호 집합의 차원은 $ m + n - p_1 - p_2 $ 이하로 하한이 존재하며, 여기서 $ p_1 $ 및 $ p_2 $ 는 스퍼스 신호의 지지 구조에 따라 달라진다.
• 기하학적으로 감쇠하는 신호에서 $ |igwedge_2| = 1 $ 이면, 식별 불가능한 집합의 차원은 최소 $ m + n + 1 - p_1 - p_2 $ 이며, 그렇지 않으면 최소 $ m + n - p_1 - p_2 $ 이다.
• 반복 코딩 및 기하학적으로 감쇠하는 신호와 같은 하위공간 코딩 신호는 심지어 스퍼스리티 제약 조건 하에서도 블라인드 디컨볼루션에서 식별 불가능하다.
• 캐논리컬 스퍼스 블라인드 디컨볼루션에서 오해의 공간에 대한 스케일링 법칙은 압축 측정 기반의 것보다 훨씬 불리하여, 스퍼스리티만으로는 근본적인 한계가 있음을 시사한다.
• 측도 이론적으로 날카로운, 부분적으로 매개변수화되고 재귀적인 방식으로 컨볼루션 연산자의 질량-이중(null space)을 특성화한 것이 개발되었으며, 이는 식별 불가능한 신호 집합의 정확한 정량화를 가능하게 한다.