[논문 리뷰] Fundamental solutions of homogeneous fully nonlinear elliptic equations

Scott N. Armstrong, Boyan Sirakov외 1명|ArXiv.org|2009. 10. 21.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 18인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 ℝⁿ\{0}에서 균일 타원적이고 양의 동차인 완전 비선형 타원 방정식 F(D²u) = 0에 대해 두 기본 해 Φ와 Φ̃의 존재성을 확립한다. 한 개의 고립 특이점 근처에서 한쪽으로 유계인 해는 이러한 기본 해들과 비슷한 행동을 보이며, 전역적으로 이러한 해들 외에 다른 해가 존재하지 않음을 보여주는 리우빌 유형 정리도 유도한다. 해의 스케일링 지수 α*와 α̃*는 두 명의 플레이어로 구성된 미분 게임에서 유도되는 확률적 과정의 재귀성 또는 비재귀성과 연결된다.

ABSTRACT

We prove the existence of two fundamental solutions $Φ$ and $ ilde Φ$ of the PDE \[ F(D^2Φ) = 0 \quad {in} \mathbb{R}^n \setminus \{0 \} \] for any positively homogeneous, uniformly elliptic operator $F$. Corresponding to $F$ are two unique scaling exponents $α^*, ildeα^* > -1$ which describe the homogeneity of $Φ$ and $ ilde Φ$. We give a sharp characterization of the isolated singularities and the behavior at infinity of a solution of the equation $F(D^2u) = 0$, which is bounded on one side. A Liouville-type result demonstrates that the two fundamental solutions are the unique nontrivial solutions of $F(D^2u) = 0$ in $\mathbb{R}^n \setminus \{0 \}$ which are bounded on one side in a neighborhood of the origin as well as at infinity. Finally, we show that the sign of each scaling exponent is related to the recurrence or transience of a stochastic process for a two-player differential game.

연구 동기 및 목표

• 조화 함수에 대한 보처의 고전적 결과를 완전 비선형, 균일 타원적, 양의 동차인 방정식으로 확장한다.
• 다른 스케일링 지수 α*와 α̃*를 가진 두 기본 해 Φ와 Φ̃를 이러한 방정식에 대해 구성한다.
• 고립 특이점 근처 및 무한대에서 한쪽으로 유계인 해의 행동을 특성화한다.
• ℝⁿ\{0}에서 전역적으로 한쪽으로 유계인 비자명한 해가 오직 Φ와 Φ̃뿐임을 보여주는 리우빌 유형 정리를 수립한다.
• 스케일링 지수의 부호가 관련된 두 플레이어 미분 게임에서 유도되는 확률 과정의 재귀성 또는 비재귀성과 어떻게 연결되는지 밝힌다.

제안 방법

• 비선형 해의 이론과 동차성 성질을 이용하여 ℝⁿ\{0}에서 F(D²u) = 0에 대한 기본 해 Φ와 Φ̃를 구성한다.
• 동차성에 의해 스케일링 지수 α*와 α̃* > -1을 정의한다: Φ(tx) = t^α* Φ(x), 여기서 α*는 연산자 F에 의해 결정된다.
• 비교 원리와 장벽 방법을 사용하여 두 플레이어 확률적 미분 게임의 가치 함수 v⁺_{r,R}와 v⁻_{r,R}를 추정한다.
• 도달 확률의 점근적 행동 P(τ < ∞)을 lim_{r→0} P(τ_{x,γ,b,r} < ∞) ∼ r^{α*}를 통해 스케일링 지수와 연결한다.
• 도달 확률의 극한 행동을 분석하여, α*의 부호를 이용해 확산 과정의 재귀성 또는 비재귀성을 분석한다.
• α* > 0이면 비재귀성(과정이 무한대로 도달함), α* < 0이면 재귀성(기원으로 거의 확실히 복귀함), α* = 0이면 원점에 도달하지 않을 가능성이 양의 확률로 존재하는 의미에서 재귀적 행동을 보임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균일 타원적이고 양의 동차인 완전 비선형 방정식 F(D²u) = 0이 ℝⁿ\{0}에서 기본 해를 갖는가?
• RQ2 한쪽으로 유계인 해는 고립 특이점 근처와 무한대에서 어떻게 행동하는가?
• RQ3 ℝⁿ\{0}에서 전역적으로 한쪽으로 유계인 해의 정확한 리우빌 유형 특성은 무엇인가?
• RQ4 스케일링 지수 α*와 α̃*는 관련된 두 플레이어 미분 게임에서의 확률 과정의 재귀성 또는 비재귀성과 어떻게 연결되는가?
• RQ5 도달 확률의 점근적 행동을 사용하여 α*의 부호를 결정하고, 그로 인해 확산 과정의 장기적 행동을 파악할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 균일 타원적이고 양의 동차인 F에 대해, 동차도가 α*와 α̃* > -1인 두 기본 해 Φ와 Φ̃가 존재한다.
• 고립 특이점 근처에서 한쪽으로 유계인 해는 스케일링 지수의 부호에 따라 Φ 또는 Φ̃와 점근적으로 유사한 행동을 보인다.
• 리우빌 정리 성립: ℝⁿ\{0}에서 0 근처와 무한대에서 한쪽으로 유계인 F(D²u) = 0의 해는 오직 Φ, Φ̃, 그리고 상수의 선형 조합뿐이다.
• α* > 0이면 lim_{r→0} sup_γ inf_b P(τ_{x,γ(b),b,r} < ∞) ∼ r^{α*}이 성립하여 과정의 비재귀성을 시사한다.
• α* < 0이면 lim_{R→∞} sup_γ inf_b P(τ_{x,γ(b),b,0} < τ_{x,γ(b),b,R}) ∼ 1 - R^{α*}이 성립하여 재귀성(기원으로 거의 확실히 복귀)을 시사한다.
• α* = 0일 경우, 과정은 원점의 이웃으로 무한히 복귀하지만, 거의 확실히 원점을 피할 수 있다.