[논문 리뷰] Fundamentals of submersions and immersions between infinite-dimensional manifolds

Helge Glöckner|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 20.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 19인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 볼록 공간 위에 구조가 잡힌 무한차원 다양체 사이의 몰입과 임베딩에 대한 기초 이론을 수립한다. 특히, 고전적 개념을 일반화한 $C^r_\mathbb{K}$-서브머전의 엄밀한 정의를 도입한다. 바나흐 공간 또는 유한차원 타깃에 대해서는 이 정의가 나이브한 서브머전 조건(전사적인 미분과 보완 가능한 핵)과 일치하며, 일정한 랭크 정리, 섬유곱, 그리고 $G/H$ 위의 다양체 구조와 같은 핵심 도구를 개발하여 무한차원 리 군자리와 리 이론에의 적용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We define submersions f between manifolds M and N modelled on locally convex spaces. If the range N is finite-dimensional or a Banach manifold, then these coincide with the naive notion of a submersion. We study pre-images of submanifolds under submersions and pre-images under mappings whose differentials have dense image. An infinite-dimensional version of the constant rank theorem is provided. We also construct manifold structures on homogeneous spaces G/H of infinite-dimensional Lie groups. Some fundamentals of immersions between infinite-dimensional manifolds are developed as well.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 볼록 공간 위에 구조가 잡힌 무한차원 다양체의 맥락에서 서브머전과 임베딩을 정의하고 엄밀히 특성화하는 것.
• 나이브한 서브머전 조건과 더 강력한 기하학적으로 유도된 서브머전 정의 사이의 관계를 명확히 하여 무한차원 미분기하학의 기초 문제를 해결하는 것.
• 적절한 조건 하에서 무한차원 리 군 $G$ 와 닫힌 부분군 $H$ 에 대해 동차공간 $G/H$ 에 $C^r_\mathbb{K}$-다양체 구조가 존재함을 확립하는 것.
• 일정한 랭크 정리 및 역함수정리와 같은 고전적 정리의 무한차원 버전을 이 맥락에서 증명하는 것.
• 다양체와 사상들을 구성하고 분석하기 위한 도구들—예를 들어 섬유곱과 국소 섹션—을 제공하는 것.

제안 방법

• 지속적인 선형 사영과 지속적인 우측역함수를 갖는 국소 모델을 통한 $C^r_\mathbb{K}$-서브머전의 정의로 기하학적 일致성을 확보하는 것.
• 핵이 무한차원에서 잘 행동하도록 보장하기 위해, 보완 가능한 부분공간을 갖는 바나흐 공간(공간의 몫이 바나흐 공간인 부분공간)의 개념을 사용하는 것.
• 바나흐 공간 또는 유한차원 타깃에 대해서는 나이브한 서브머전(전사적인 미분과 보완 가능한 핵)이 더 강력한 서브머전 정의와 동치임을 증명하는 것.
• 항등원을 지나는 $C^r_\mathbb{K}$-다양체 $S \subseteq G$ 를 식별하여, $G$ 의 열린 부분집합이 $S \times H$ 와 미분동형임을 보여, 동차공간 $G/H$ 에 대한 다양체 구조를 구성하는 것.
• 서브머전에 대해 국소 $C^r$-섹션의 존재를 통해 무한차원 맥락에서 은함수정리와 역함수정리를 적용하는 것.
• 잉여 위상과 군 작용의 일致성을 사용하여, $S$ 에 대해 적절한 조건이 성립할 경우, 몫사상 $q: G \to G/H$ 가 $C^r_\mathbb{K}$-서브머전임을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적으로 볼록 공간 위에 구조가 잡힌 무한차원 다양체 사이의 $C^r_\mathbb{K}$-사상이 기하학적으로 서브머전이 되는 조건은 무엇이며, 이는 전사적인 미분과 보완 가능한 핵을 갖는 나이브한 조건과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 무한차원 리 군 $G$ 와 닫힌 부분군 $H$ 에 대해 동차공간 $G/H$ 가 어떤 조건에서 $C^r_\mathbb{K}$-다양체 구조를 갖는가?
• RQ3 일정한 랭크 정리는 무한차원 다양체로 확장될 수 있는가? 그리고 어떤 조건이 서브머전에 의해 한 서브다양체의 역상이 다시 한 서브다양체가 되도록 보장하는가?
• RQ4 무한차원 다양체의 범주에서 섬유곱은 어떻게 행동하는가? 그리고 두 서브머전의 섬유곱이 언제 다시 한 다양체가 되는가?
• RQ5 몫사상 $q: G \to G/H$ 가 언제 $C^r_\mathbb{K}$-서브머전이 되는가? 그리고 이는 국소 슬라이스의 존재와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 바나흐 공간 또는 유한차원 타깃 다양체에 대해서는 $C^r_\mathbb{K}$-서브머전이 나이브한 서브머전(전사적인 미분과 보완 가능한 핵)과 동치이며, 이는 무한차원 맥락에서의 모호함을 해결한다.
• 모든 $C^r_\mathbb{K}$-서브머전은 열린 사상이며 국소 $C^r_\mathbb{K}$-섹션을 갖는다. 이는 타깃 다양체의 다양체 구조가 서브머전에 의해 유일하게 결정됨을 보장한다.
• 서브머전에 의해 한 서브다양체의 역상은 $C^r_\mathbb{K}$-서브다양체이다. 이는 고전적 전치성 결과를 일반화한 것이다.
• 무한차원 리 군 $G$ 와 닫힌 부분군 $H$ 에 대해 동차공간 $G/H$ 는, 항등원을 지나는 $C^r_\mathbb{K}$-서브다양체 $S \subseteq G$ 가 존재하고, $SH$ 가 $G$ 에서 열려 있으며, 곱사상 $S \times H \to SH$ 가 $C^r_\mathbb{K}$-미분동형사상이면 $C^r_\mathbb{K}$-다양체 구조를 갖는다.
• 몫사상 $q: G \to G/H$ 가 $C^r_\mathbb{K}$-서브머전임은 그 조건을 만족하는 국소 슬라이스 $S$ 가 존재할 때이고, 이는 $G/H$ 에 대한 다양체 구조의 기하학적 기준을 제공한다.
• 만약 $H$ 가 닫힌 부분군이고 몫사상이 $C^r_\mathbb{K}$-서브머전이라면 $G/H$ 의 군 연산은 $C^r_\mathbb{K}$-이다. 이는 $G$ 가 $C^r_\mathbb{K}$-리 군이라면 $G/H$ 도 $C^r_\mathbb{K}$-리 군이 된다는 것을 보장한다.