[논문 리뷰] Further results on differentially 4-uniform permutations over $\F_{2^{2m}}$

Zhengbang Zha, Lei Hu외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 13.

Coding theory and cryptography참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $ℚ_{2^{2m}}$에서의 역함수를 철저히 선택된 부분집합 $S$에서 수정하여, 차분적으로 4-균일한 치환의 새로운 구성법을 제시한다. 제안된 치환은 높은 비선형성과 대수적 차수를 달성하며, 명시적인 구성이 기존에 알려진 함수들과 CCZ-동치가 아님을 보여주어 암호학적 S-박스 설계에 향상된 선택지를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we present several new constructions of differentially 4-uniform permutations over $\F_{2^{2m}}$ by modifying the values of the inverse function on some subsets of $\F_{2^{2m}}$. The resulted differentially 4-uniform permutations have high nonlinearities and algebraic degrees, which provide more choices for the design of cryptographic substitution boxes.

연구 동기 및 목표

• 차분적으로 4-균일한 치환을 $ℚ_{2^{2m}}$에서 강력한 암호학적 성질을 갖도록 구성하기.
• 특정 부분집합 $S \subset \mathbb{F}_{2^{2m}}$에서의 역함수 수정을 통해 기존 구성법을 향상시키기.
• 이론적 한계에 가까운 높은 비선형성과 대수적 차수를 달성하기.
• 기존에 알려진 함수들(역함수 및 이전의 구성 포함)과 CCZ-동치가 아님을 입증하기.
• S-박스 설계를 위한 바람직한 암호학적 특성을 갖는 치환을 체계적으로 생성하는 방법 제공하기.

제안 방법

• 부분집합 $S \subset \mathbb{F}_{2^{2m}}$에서의 역함수 $x^{-1}$ 값들을 수정하여 새로운 치환을 구성하기.
• 예를 들어 $\mathrm{Tr}(x) = 1$ 또는 $\mathrm{Tr}(x) = \mathrm{Tr}(x/(1+x)) = 1$와 같은 추적 조건으로 정의된 부분집합 $S$ 사용하기.
• $f(x) = x^{-1} + \delta_S(x)$ 형태로 치환 구성하기. 여기서 $\delta_S(x)$는 $S$ 위에서만 비영인 보정 함수이다.
• 함수 $f(x+a) + f(x) = b$의 해의 수를 제어하여 차분 균일성이 여전히 4로 유지되도록 보장하기.
• 유한체의 스위칭 방법과 대수적 성질을 활용하여 비선형성과 대수적 차수를 높이기.
• $n=12$에 대해 Magma 계산을 통한 미분 스펙트럼 및 비선형성 분석을 통해 CCZ-동치성 여부 검증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특정 부분집합 $\mathbb{F}_{2^{2m}}$에서의 역함수 수정을 통해 차분적으로 4-균일한 새로운 치환을 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 구성이 기존 것들보다 더 높은 비선형성과 대수적 차수를 갖는 치환을 제공하는가?
• RQ3 새로운 치환은 역함수 및 이전의 구성과 CCZ-동치가 아닌가?
• RQ4 수정 집합 $S$의 크기와 구조는 비선형성과 차분 스펙트럼에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 제안된 방법이 실용적인 S-박스 설계를 위해 다수의 CCZ-동치가 아닌 치환을 생성할 수 있는가?

주요 결과

• 정리 3–7은 $ℚ_{2^{10}}$ 및 $ℚ_{2^{12}}$에서 비선형성이 각각 최대 1980과 1978인 새로운 차분 4-균일 치환을 제시한다.
• $n=12$일 때, 정리 5에 속하는 함수들의 평균 비선형성은 1910.264이며, 이는 정리 2의 1911.106보다 略적으로 낮아 $|S|$가 클수록 상충 관계가 있음을 시사한다.
• 정리 5의 구성에서 $S = S_1 \cup (\mathbb{F}_{16} \setminus \mathbb{F}_4)$이면, 가능한 $S_1$ 집합이 1036개이며, 총 $2^{518}$개의 집합 $S$가 존재하여 다수의 서로 다른 치환을 생성할 수 있다.
• 예제 1은 $|S_1|=42$인 경우 비선형성이 1958인 함수를 보여주며, 이는 정리 2의 1956보다 略적으로 높다.
• 예제 3은 정리 2보다 $|S|$가 더 큰 경우에도 비선형성이 더 높을 수 있음을 보여주며(1978 vs. 1980), 이는 비선형성의 비단조화적 행동을 나타낸다.
• 예를 들어 $n=10$일 때, 새로운 치환의 차분 스펙트럼 $​\{0^{8534127}, 2^{8091426}, 4^{147567}\}$은 차분 균일성이 4임을 확인하며, 알려진 함수들과의 차이를 명확히 한다.