[논문 리뷰] Further Results on Quadratic Permutation Polynomial-Based Interleavers for Turbo Codes

Eirik Rosnes|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 25.

Advanced Wireless Communication Techniques참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이차치환다항식(QPP) 기반 터보코드의 최소거리(dmin)에 대한 날카운 상계를 제시하며, QPP의 역함수가 QPP일 경우 dmin는 2(2^{ν+1} + 9) 이하임을 보여준다. 여기서 ν는 원시 피드백 및 단항 피드포워드 다항식의 차수이다. 또한 고차수의 역함수를 允許함으로써 더 큰 dmin 값을 얻을 수 있음을 입증한다. 예를 들어 N=6016인 QPP는 추정 dmin가 57로, 3GPP LTE 표준의 dmin인 51을 초과한다. 더불어 이중 종료 조건을 갖는 모든 3GPP LTE 터보코드에 대해 정확한 dmin와 다중도를 계산하였다.

ABSTRACT

An interleaver is a critical component for the channel coding performance of turbo codes. Algebraic constructions are of particular interest because they admit analytical designs and simple, practical hardware implementation. Also, the recently proposed quadratic permutation polynomial (QPP) based interleavers by Sun and Takeshita (IEEE Trans. Inf. Theory, Jan. 2005) provide excellent performance for short-to-medium block lengths, and have been selected for the 3GPP LTE standard. In this work, we derive some upper bounds on the best achievable minimum distance dmin of QPP-based conventional binary turbo codes (with tailbiting termination, or dual termination when the interleaver length N is sufficiently large) that are tight for larger block sizes. In particular, we show that the minimum distance is at most 2(2^{ν+1}+9), independent of the interleaver length, when the QPP has a QPP inverse, where ν is the degree of the primitive feedback and monic feedforward polynomials. However, allowing the QPP to have a larger degree inverse may give strictly larger minimum distances (and lower multiplicities). In particular, we provide several QPPs with an inverse degree of at least three for some of the 3GPP LTE interleaver lengths giving a dmin with the 3GPP LTE constituent encoders which is strictly larger than 50. For instance, we have found a QPP for N=6016 which gives an estimated dmin of 57. Furthermore, we provide the exact minimum distance and the corresponding multiplicity for all 3GPP LTE turbo codes (with dual termination) which shows that the best minimum distance is 51. Finally, we compute the best achievable minimum distance with QPP interleavers for all 3GPP LTE interleaver lengths N <= 4096, and compare the minimum distance with the one we get when using the 3GPP LTE polynomials.

연구 동기 및 목표

• 이차치환다항식(QPP) 기반의 기존 이진 터보코드의 꼬리 자르기 또는 이중 종료 조건을 갖는 경우, 최대 달성 가능한 최소거리(dmin)에 대한 날카운 상계를 유도하는 것.
• QPP의 역함수가 QPP가 아닌 고차수의 역함수를 允許할 경우, QPP 역함수를 갖는 QPP보다 더 큰 dmin 값을 달성할 수 있는지 조사하는 것.
• 이중 종료 조건을 갖는 모든 3GPP LTE 터보코드에 대해 정확한 최소거리와 그에 해당하는 다중도를 계산하는 것.
• 특히 dmin가 50을 초과하는 QPP를 중간~대규모 인터리버 길이 N에 대해 식별하고, 3GPP LTE 표준 다항식과 비교하는 것.
• 3GPP LTE 길이 N ≤ 4096인 모든 QPP 인터리버에 대해 달성 가능한 최대 dmin를 결정하는 것.

제안 방법

• 정수환 ZN 상의 치환다항식 성질을 이용하여 QPP 기반 터보코드의 dmin에 대한 분석적 상계를 유도한다.
• 상계를 계산할 때, 역함수의 차수가 최소 4 이상인 QPP로 검색 공간을 제한하기 위해 정리 3과 보조정리 3을 적용한다.
• 유도된 상계의 날카움을 검증하기 위해 역함수 차수가 4 이상인 모든 QPP에 대한 철저한 컴퓨터 검색을 수행한다.
• 후보 QPP에 대해 dmin와 다중도를 추정하기 위해 삼중 인풋 펄스 방법을 사용한다.
• 제안된 QPP를 사용할 때 달성 가능한 최대 dmin를 3GPP LTE 표준 다항식이 달성한 dmin와 비교한다.
• 이중 종료 조건을 갖는 모든 3GPP LTE 터보코드에 대해 정확한 dmin와 다중도를 철저한 열거를 통해 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 QPP의 역함수가 QPP일 경우, 인터리버 길이에 관계없이 QPP 기반 터보코드의 최소거리 dmin에 대한 가장 날카운 상계는 무엇인가?
• RQ2 QPP의 역함수 차수가 3 이상인 경우, QPP 역함수를 갖는 QPP보다 더 큰 dmin 값을 달성할 수 있는가? 만약 그렇다면, 얼마나 더 크며?
• RQ3 모든 허용 가능한 인터리버 길이에서 이중 종료 조건을 갖는 모든 3GPP LTE 터보코드에 대해 정확한 최소거리와 다중도는 무엇인가?
• RQ4 3GPP LTE 인터리버 길이 N ≤ 4096인 경우, QPP 인터리버를 사용할 때 달성 가능한 최대 dmin는 무엇이며, 3GPP LTE 표준 다항식이 달성한 dmin와 비교해 보면 어떻게 되는가?
• RQ5 역함수 차수가 3인 QPP의 dmin에 대해 51이 최대 상한선인가, 아니면 더 높은 값도 달성 가능한가?

주요 결과

• QPP의 역함수가 QPP일 경우, dmin에 대한 상한은 2(2^{ν+1} + 9)이며, 이는 인터리버 길이 N과 무관하다. 여기서 ν는 원시 피드백 및 단항 피드포워드 다항식의 차수이다.
• N = 6016일 경우, QPP f(x) = 59x + 658x^2는 추정 dmin가 57로, 3GPP LTE 표준의 dmin인 51을 초과한다.
• 이중 종료 조건을 갖는 모든 3GPP LTE 터보코드의 정확한 dmin는 51이며, 이 값은 모든 표준 인터리버 길이에서 달성된다.
• N = 6144일 경우, 역함수 차수가 3인 QPP는 dmin = 51을 달성하며, 다중도는 94로 매우 낮은 편이다. 이는 3GPP LTE 표준의 12179에 비해 현저히 낮다.
• 역함수 차수가 3인 QPP에서 발견된 최고의 dmin는 56으로, f(x) = 39x + 760x^2 (mod 9728)에 의해 달성되며, 이는 51이 이러한 QPP의 보편적 상한선이 아님을 시사한다.
• N > 4096인 경우, N = 6016 및 N = 6144를 포함해 여러 개선된 QPP가 식별되었으며, 이들 QPP는 dmin 값이 50을 초과하고, 3GPP LTE 표준에 비해 다중도가 크게 감소하였다.