[논문 리뷰] Fusion Category Symmetry I: Anomaly In-Flow and Gapped Phases

Ryan Thorngren, Yifan Wang|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 05.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 49인용 수 124

한 줄 요약

이 논문은 융합 범주 대칭을 갖는 1+1D 이론에서 이상 흐름(anomaly in-flow)과 갭이 있는 위상(gapped phase) 분류를 개발하고, 이상을 특징짓고 섬유 함수(fiber functor)를 결정하는 경계 구성으로 Turaev-Viro/Levin-Wen 경계 이론을 사용한다.

ABSTRACT

We study generalized discrete symmetries of quantum field theories in 1+1D generated by topological defect lines with no inverse. In particular, we describe 't Hooft anomalies and classify gapped phases stabilized by these symmetries, including new 1+1D topological phases. The algebra of these operators is not a group but rather is described by their fusion ring and crossing relations, captured algebraically as a fusion category. Such data defines a Turaev-Viro/Levin-Wen model in 2+1D, while a 1+1D system with this fusion category acting as a global symmetry defines a boundary condition. This is akin to gauging a discrete global symmetry at the boundary of Dijkgraaf-Witten theory. We describe how to "ungauge" the fusion category symmetry in these boundary conditions and separate the symmetry-preserving phases from the symmetry-breaking ones. For Tambara-Yamagami categories and their generalizations, which are associated with Kramers-Wannier-like self-dualities under orbifolding, we develop gauge theoretic techniques which simplify the analysis. We include some examples of CFTs with fusion category symmetry derived from Kramers-Wannier-like dualities as an appetizer for the Part II companion paper.

연구 동기 및 목표

• 1+1D에서 일반화된 이산적(비가역) 융합 범주 대칭과 그 이상들을 동기화한다.
• 2+1D Turaev-Viro/Levin-Wen 이론을 통해 이상 흐름(anomaly in-flow)을 정의하여 RG 흐름과 경계 조건을 제약한다.
• 대칭 보존 갭 위상을 분류하고 이를 모듈 범주와 섬유 함수와 연관시킨다.
• 대칭 보존과 대칭 파괴 위상을 구분하는 기준을 제시한다.
• 명시적 예로 Tambara-Yamagami 범주와 Ising 관련 이중성에 프레임워크를 적용한다.

제안 방법

• 융합 범주  와 관련된 Turaev-Viro 이론의 갭 경계 조건을 기술하고 이를 A-대칭 경계 조건으로 해석한다.
•  위의 모듈 범주를 사용하여 가능한 대칭 보존 갭 위상을 분류하고, 비퇴화(non-degenerate) A-대칭 위상을 가르는 기준으로 섬유 함수를 식별한다.
• 이상 소멸 조건을 제시한다: A가 섬유 함수를 허용하면 비갭적이고 비퇴화된 A-대칭 경계가 존재한다.
• 섬유 함수와 G=Vec_G^\u0005 를 연결하고, 보상항(counterterms)을 코본다 coboundaries \u001chi 를 통해 해석하며 표준 그룹 코호몰로지 SPT 로직과 연결한다.
• 프레임워크와 이상을 설명하기 위해 Tambara-Yamagami 범주와 Ising 기반 이중성을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1+1D에서 Fusion Category 대칭을 포착하는 적절한 경계 데이터(모듈 범주)는 무엇인가?
• RQ2 융합 범주 대칭은 1+1D에서 어떤 경우에 갭이고 비퇴화된 대칭 보존 위상(이상 무결)으로 허용되는가?
• RQ3 2+1D Turaev-Viro 이론에서의 이상 흐름이 1+1D RG 흐름을 융합 범주 대칭 하에서 어떻게 제약하는가?
• RQ4 섬유 함수가 A-대칭 갭 위상과 그 에지 모드 분류에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 Tambara-Yamagami 범주와 Ising/Kramers-Wannier 유사 이중성이 융합 범주 대칭과 그 이상을 어떻게 구현하는가?

주요 결과

• 1+1D의 융합 범주 대칭은 2+1D Turaev-Viro 이론의 경계 조건으로 구현되며, 대칭 보존 갭 위상은 융합 범주 위의 모듈 범주에 대응한다.
• 이상 소멸 조건이 확립된다: 섬유 함수가 존재하면 비갭적이고 비퇴화된 A-대칭 경계(즉, 대칭적 위상)가 존재한다.
• 융합 범주가 어떤 객체의 양자 차원이 정수가 아닌 경우 관련된 Turaev-Viro 이론은 갭이고 비퇴화된 A-대칭 경 Boundary를 허용할 수 없다.
• 섬유 함수(동률은 단일 간단 객체를 가진 모듈 범주와 동치)가 A-대칭 비퇴화 갭 위상을 분류하고 에지 모드 구성을 결정한다.
• Vec_G^\u0015 의 경우, 섬유 함수는 델타 chi = - omega 를 만족하는 그룹 코호몰로지 데이터에 대응하며 표준 SPT 이상 제약과 연결된다.
• Tambara-Yamagami 범주 및 유한한 게이지 이론 예들이 이상 흐름과 위상 분류를 설명하기 위해 개발된다.