[논문 리뷰] Future complete Einsteinian space times with U(1) symmetry, the unpolarized case

Yvonne Choquet–Bruhat|ArXiv.org|2003. 05. 15.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 극성 조건을 가정하지 않고, $M = S^1 \times \Sigma$에서 $\Sigma$가 1보다 큰 종수를 가진 컴act이고 옹호된 표면인 U(1) 대칭 아인슈타인 시공간의 전역 존재성과 미래 인과적 완전성을 확립한다. 필드 방정식을 2+1 중력과 결합된 웨이브 매핑으로 줄이고, $\Sigma$에서 라플라스 연산자의 최저 고유값의 점근적 행동에 민감한 수정된 에너지 함수를 구성함으로써, 해가 모든 미래 시간에 존재하고, 보편적 또는 고유값에 의존하는 감쇠 속도를 보이며, 팽창한 극한에서 시공간 계량이 평탄한 형태로 점점 수렴함을 증명한다.

ABSTRACT

I prove the existence of vacuum $S^{1}$ symmetric Einsteinian, unpolarized, space times which are complete in the direction of the expansion, for small initial data, without supposing that the $S^{1}$ orbits are orthogonal to the 3-manifolds, as was done in previous work in collaboration with V. Moncrief.

연구 동기 및 목표

• 극성 조건을 제거하여 극성 U(1) 대칭 시공간에 대한 비선형 안정성 결과를 비극성 경우로 확장하기 위해.
• 기저 표면 $\Sigma$의 등각 기하학을 제한하지 않은 일반적인 초기 자료 하에서, 이제 비선형 웨이브 매핑과 2+1 중력으로 감소된 필드 방정식의 역학을 분석하기 위해.
• 시공간의 변화하는 스펙트럼 갭을 반영하는 고차원 에너지 함수를 구성하여, 라플라스 연산자의 $\Sigma$에서의 시간에 따라 변하는 스펙트럼 갭이 중력 자유도의 감쇠 속도에 미치는 영향를 고려하기 위해.
• 비극성 설정에서 작은 초기 자료로부터 진화하는 해에 대해 향후 방향으로 전역 존재성과 인과적 지오데식 완전성을 확립하기 위해.

제안 방법

• 4차원 진공 아인슈타인 방정식을 $\Sigma \times \mathbb{R}$에서 푸앵카레 평면으로의 웨이브 매핑으로 감소시키며, 계량 $^{(3)}g$ 는 웨이브 매핑에 의해 소스가 되는 2+1 아인슈타인 방정식을 만족한다.
• 트위스트 포텐셜 $\omega$와 등각 인자 $\gamma$를 사용하여 케일링 장의 노름과 전기형 필드를 매개화하고, 웨이브 매핑의 타겟 공간을 구성한다.
• 라플라스 연산자의 $\Sigma$에서의 최저 비영 고유값의 점근적 값에 의존하는 수정된 에너지 함수를 도입하여, 비보편적 감쇠에도 불구하고 소볼레프 노름을 제어한다.
• lapse, shift, 등각 인자를 위한 타원계로 감소된 2+1 아인슈타인 방정식을 각 $\Sigma_t$에서 얻기 위해 게이지 고정 절차를 적용하고, 테이히뮐러 매개변수에 대한 상미분 방정식계를 함께 고려한다.
• 소볼레프 포함과 테이히뮐러 매개변수를 통한 등각 기하학 제어를 통해, 진화 중에 소볼레프 상수에 대한 균일한 유계성을 유지한다.
• lapse의 유계성과 정규 궤도의 무한한 진짜 시간 길이를 이용하여 향후 시간적 및 영향선 지오데식 완전성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비극성 U(1) 대칭 진공 아인슈타인 시스템은 작은 초기 자료에 대해 향후 완전한 해를 갖는가?
• RQ2 기저 표면 $\Sigma$에서 라플라스 연산자의 스펙트럼 갭에 따라 중력 자유도의 점근적 감쇠 속도는 어떻게 달라지는가?
• RQ3 기저 표면 $\Sigma$의 등각 기하학을 제한하지 않고도 비극성 경우에서 전역 존재성과 인과적 완전성을 확립할 수 있는가?
• RQ4 감소된 필드 방정식에서 전기형 필드의 조화 부분은 어떤 역할을 하는가? 그리고 이 값이 0이 아닐 때 웨이브 매핑 공식은 유지될 수 있는가?

주요 결과

• 시공간은 전역적으로 쌍곡적이며, 모든 정규 궤도가 무한한 진짜 시간 길이를 갖는다.
• 웨이브 매핑 장과 테이히뮐러 매개변수의 진화는 등각 스케일링 하에서 원형 섬유가 길이 0으로 붕괴하는 방향으로 진행되며, 등각 2기하학은 잘 유지된다.
• 전체 에너지는 균일하게 유계이며, $(\gamma, \omega)$의 $H_2$ 노름과 $(\partial_t\gamma, \partial_t\omega)$의 $H_1$ 노름은 시간에 따라 균일하게 유계이다.
• 계량은 점점 평탄한 형태로 수렴한다: ${}^{(4)}g \to -4dt^2 + 2t^2\sigma_\infty + e^{2\gamma_\infty}(dx^3 + H_\infty)^2$, 여기서 $\sigma_\infty$는 스칼라 곡률 $-1$을 가지며, $H_\infty$는 $\Sigma$ 위의 조화 1형식이다.
• 라플라스 연산자의 최저 비영 고유값이 갭 $(0, \frac{1}{8}]$을 피하는 한 감쇠 속도는 보편적이다; 그렇지 않다면 감쇠 속도는 이 고유값의 점근적 값에 따라 달라진다.
• lapse $N$은 $C^0$ 노름에서 2로 수렴하고 shift $\nu$는 0으로 수렴하며, $\gamma$는 분포 수렴으로 상수 $\gamma_\infty$로 수렴하고 $\omega$는 상수 $\omega_\infty$로 수렴하여 팽창 방향에서 점근적 평탄성을 나타낸다.