[논문 리뷰] Fuzzy Abel Grassmann's Groupoids

Madad Khan, Muhammad Nouman Aslam Khan|ArXiv.org|2009. 04. 01.

Fuzzy and Soft Set Theory참고 문헌 6인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 아벨-그라스만 군오이드(AG-groupoids)에서 흐린 이상들(fuzzy ideals)을 도입하고 조사하며, 흐린 왼쪽 이상, 내부 이상, 이중 이상의 기초적 성질을 수립한다. 모든 흐린 왼쪽 이상의 집합이 교환 모노이드를 이룬다는 것을 증명하고, 완전히 흐린 소수 및 준소수 AG-groupoids가 반순서 구조와 등급 구조를 띠며, 왼쪽 항등원 조건 하에서 흐린 준소수 이상과 등급 흐린 왼쪽 이상 사이의 핵심 동치 관계를 규명한다.

ABSTRACT

In the present paper we have studied the concept of fuzzification in AG-groupoids. The equivalent statement for an AG-groupoid to be a commutative semigroup is proved. Fuzzy points have been defined in an AG-groupoid and has been shown the representation of smallest fuzzy left ideal generated by a fuzzy point. The set of all fuzzy left ideals, which are idempotents, forms a commutative monoid. The relation of fuzzy left(right) ideals, fuzzy interior ideals and fuzzy bi-ideals in AG-groupoid has been studied. Necessary and sufficient condition of fully fuzzy prime AG-groupoid has been shown. Further, It has been shown that the set of fuzzy quasi-prime ideals of AG-groupoid with left identity forms a semillattice structure. Moreover, equivalent statements for fuzzy semiprime left ideal in an AG-groupoid have been proved.

연구 동기 및 목표

• AG-groupoids에서의 흐림화(fuzzification)를 연구함으로써 흐린 집합 이론을 비결합 대수적 구조로 확장한다.
• 흐린 점에 의해 생성된 흐린 왼쪽 이상을 특성화하고 그 대수적 성질을 분석한다.
• AG-groupoids에서 흐린 왼쪽 이상, 내부 이상, 이중 이상 간의 상호관계를 조사한다.
• 완전히 흐린 소수 및 준소수 AG-groupoids를 위한 필요 및 충분 조건을 수립한다.
• 특히 교환 모노이드와 반순서의 형성과 관련하여 흐린 이상의 대수적 구조를 탐구한다.

제안 방법

• AG-groupoids에서의 흐린 점을 정의하고, 이러한 점들에 의해 생성되는 최소 흐린 왼쪽 이상을 구성한다.
• 요소 분해 $ x = yz $ 에 대한 상한을 사용하여 흐린 부분집합에 대한 곱 연산 $ f \circ g $ 를 도입하며, $ (f \circ g)(x) = \bigvee_{x=yz} \{ f(y) \wedge g(z) \} $ 로 정의한다.
• $ (F(S), \circ) $ 가 AG-groupoid를 이루며, 중간 법칙과 왼쪽 역원 법칙을 만족함을 증명한다.
• 왼쪽 항등원 성질을 이용해 흐린 곱에서 교환 유사 행동을 유도하며, 예를 들어 $ f \circ (g \circ h) = g \circ (f \circ h) $ 와 같은 관계를 도출한다.
• 흐린 이상 곱과 교집합의 대수적 변환을 통해 등급성과 준소수 조건을 수립한다.
• 격자 이론적 개념을 적용하여, 흐린 준소수 이상의 집합이 교집합과 곱 연산에 대해 반순서를 이룬다는 것을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 흐린 이상의 맥락에서 AG-groupoid가 교환 모노이드가 되기 위한 동치 조건은 무엇인가?
• RQ2 AG-groupoid에서 흐린 점에 의해 생성되는 최소 흐린 왼쪽 이상은 대수적으로 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ3 모든 흐린 왼쪽 이상의 집합이 교환 모노이드를 이루기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 AG-groupoids에서 흐린 내부 이상, 흐린 이중 이상, 흐린 왼쪽 이상 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 완전히 흐린 소수 또는 준소수 AG-groupoid는 어떻게 특징지어지며, 이러한 성질은 반순서 구조와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• AG-groupoid에서 모든 흐린 왼쪽 이상의 집합은 연산 $ \circ $ 에 대해 교환 모노이드를 이룬다. 항등원은 왼쪽 항등원에서 1이고 나머지에서는 0인 흐린 집합이다.
• 왼쪽 항등원을 가진 AG-groupoid에서, 임의의 두 흐린 왼쪽 이상 $ f $ 와 $ g $ 는 $ f \circ g = f \cap g $ 를 만족한다. 이는 군오이드가 완전히 흐린 준소수일 경우에 한하여 성립한다.
• 왼쪽 항등원을 가진 AG-groupoid에서 모든 흐린 준소수 이상의 집합은 교집합과 곱 연산에 대해 반순서를 이룬다.
• 흐린 왼쪽 이상 $ f $ 가 준소수임은 $ f^2 \subseteq f $ 이면 $ f \subseteq f^2 $ 를 함의함과 동치이며, 이 조건은 $ f \circ f = f $ 일 때 $ f $ 가 등급임과 동치이다.
• AG-groupoid가 완전히 흐린 소수임은 모든 흐린 이상이 등급이며, 포함 관계에 대해 흐린 이상들이 완전 순서임과 동치이다.
• 완전히 흐린 준소수 AG-groupoid에서는 모든 흐린 왼쪽 이상이 등급이며, 곱 $ f \circ g $ 는 $ f \cap g $ 와 같으며, 이는 흐린 이상들 사이의 강력한 대수적 일관성을 나타낸다.