[논문 리뷰] G-Character varieties for G=SO(n,C) and other not simply connected groups

Adam S. Sikora|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 28.

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한 줄 요약

이 논문은 비단순연결된 군인 $\mathrm{SO}(n,\mathbb{C})$에 대한 $\mathrm{SO}(n,\mathbb{C})$-표현 다양체를 조사하며, 유한 중심부분군 $H$에 대해 $G$-와 $G/H$-표현 다양체 간의 관계를 확립한다. $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$에 대한 유한 생성집합을 제공하고, 전체 추적 대수 $\mathcal{FT}_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)$가 전체 좌표환보다 엄격히 작다는 것을 증명하여, $SO(2n,\mathbb{C})$-다양체에서 추적 함수의 생성 문제에 대한 핵심 질문을 해결한다.

ABSTRACT

We describe the relation between G-character varieties, $X_G(Γ)$, and $G/H$-character varieties, where $H$ is a finite, central subgroup of $G.$ In particular, we find finite generating sets of coordinate rings $C[X_{G/H}(Γ)]$ for classical groups $G$ and $H$ as above. Using this approach we find an explicit description of $C[X_{SO(4,C)}(F_2)]$ for the free group on two generators, $F_2.$ In the second part of the paper, we prove several properties of SO(2n,C)-character varieties. This is a particularly interesting class of character varieties because unlike for all other classical groups G, the coordinate rings $C[X_{G}(Γ)]$ are generally not generated by trace functions $τ_γ$, for $γ\in Γ$, for G=SO(2n,C). In fact, we prove that the coordinate ring $C[X_{SO(2n,C)}(Γ)]$ is not even generated by "generalized trace functions," $τ_{γ,V},$ for all $γ\in Γ$ and all representations $V$ of $SO(2n,C)$ for $n=2$ and groups $Γ$ of corank $\geq 2$.

연구 동기 및 목표

• 비단순연결된 군, 예를 들어 $SO(n,\mathbb{C})$에 대한 $G$-표현 다양체의 구조를 이해하며, 이는 추적 함수로는 완전히 기술되지 않는다.
• 유한 중심부분군 $H$일 때 $G$-표현 다양체와 $G/H$-표현 다양체 간의 일반적인 관계를 확립한다.
• 자유군 두 개의 생성자에 대한 좌표환 $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$를 명시적으로 기술한다.
• $n=2$ 이고 $\Gamma$의 코랭크 $\geq 2$일 때, 전체 추적 대수 $\mathcal{FT}_{SO(2n,\mathbb{C})}(\Gamma)$가 전체 좌표환 $\mathbb{C}[X_{SO(2n,\mathbb{C})}(\Gamma)]$를 생성하는지 여부를 해결한다.

제안 방법

• 유한 중심부분군을 갖는 $SO(4,\mathbb{C}) \cong (SL(2,\mathbb{C}) \times SL(2,\mathbb{C}))/\mathbb{Z}/2$의 동형을 이용하여, 몫 구조를 통해 $SL(2,\mathbb{C})$에서의 표현 다양체를 $SO(4,\mathbb{C})$로 올린다.
• 고전적 군에 대해, $G$-표현의 구조와 $H$의 작용 하에의 불변량을 이용하여 $\mathbb{C}[X_{G/H}(\Gamma)]$에 대한 유한 생성집합을 구성한다.
• 일반화된 추적 함수 $\tau_{\gamma,V}$를 정의하고, 이들이 좌표환 $\mathbb{C}[X_G(\Gamma)]$를 생성하는 데 수행하는 역할를 분석한다.
• 추적 대수의 등급 구조를 적용하여, $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$의 핵심 생성자들이 선형 독립임을 증명한다.
• $\Gamma \to F_2$의 전성사상으로 $F_2$에서의 결과를 더 높은 코랭크 군으로 옮기며, 추적 대수 확장이 엄격함을 보인다.
• $X_{SL(2,\mathbb{C})}(F_2) \times X_{SL(2,\mathbb{C})}(F_2)$의 $\mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2$-등변 구조를 활용하여 좌표환을 분해하고, $SO(4,\mathbb{C})$-표현 다양체의 생성자를 식별한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $n=2$ 이고 $\Gamma$의 코랭크 $\geq 2$일 때, 전체 추적 대수 $\mathcal{FT}_{SO(2n,\mathbb{C})}(\Gamma)$가 전체 좌표환 $\mathbb{C}[X_{SO(2n,\mathbb{C})}(\Gamma)]$를 생성하는가?
• RQ2 모든 $\gamma \in F_2$ 및 모든 $SO(4,\mathbb{C})$-표현 $V$에 대해, 좌표환 $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$가 일반화된 추적 함수 $\tau_{\gamma,V}$로 생성될 수 있는가?
• RQ3 좌표환 $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$에 대한 명시적인 유한 생성집합은 무엇인가?
• RQ4 $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$의 생성자들이 $\mathcal{T}_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)$-모듈로서 선형 독립적인가?
• RQ5 $\mathcal{FT}_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2) \subset \mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$의 확장은 엄격한가?

주요 결과

• $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$는 $1$과 $1 \leq i \leq j \leq 2$에 대해 $Q_4(\gamma_i, \gamma_j)$ 함수들, 더불어 곱과 역원을 포함한 네 개의 추가 $Q_4$-함수들로 생성되는 $\mathcal{T}_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)$-모듈이다.
• 전체 추적 대수 $\mathcal{FT}_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)$는 $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$보다 엄격히 작다. 이는 $Q_4(\gamma_1, \gamma_2)$, $Q_4(\gamma_1\gamma_2^{-1}, \gamma_2)$, $Q_4(\gamma_2\gamma_1^{-1}, \gamma_1)$ 생성자들이 중복되지 않음을 보여준다.
• $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$의 생성자들이 $\mathcal{FT}_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)$-모듈로서 차수 3에서代수적 독립적임을 증명하여, 어떤 생성자도 다른 생성자들의 $\mathcal{FT}_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)$-스칼라 결합에 속하지 않음을 보여준다.
• $\Gamma$의 코랭크 $\geq 2$일 경우, $\mathcal{FT}_{SO(4,\mathbb{C})}(\Gamma) \subset \mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(\Gamma)]$의 확장은 엄격하다. 이는 전성사상에 의해 $F_2$의 경우로 유도되기 때문이다.
• $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$는 $SO(4,\mathbb{C})$에 대해 추적 함수 $\tau_\gamma$만으로는 생성되지 않으며, 일반화된 추적 함수 $\tau_{\gamma,V}$로도 생성되지 않는다. 이는 다른 고전군과는 다르다.
• 논문은 $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$에 대한 유한 생성집합을 제공하며, 이는 $Q_4$-함수들과 추적 불변량으로서의 생성자를 명시적으로 나열한다.