[논문 리뷰] G-Expectation, G-Brownian Motion and Related Stochastic Calculus of Ito's type

Shigē Péng|ArXiv.org|2006. 01. 03.

Stochastic processes and financial applications인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 생성자 G를 갖는 완전히 비선형 열방정식을 바탕으로 한 비선형 기대값 프레임워크인 G-기대값을 소개한다. 이는 G-브라운운동과 이를 바탕으로 한 이토 유형의 확률미분계산법을 구축할 수 있게 하며, 고유한 확률공간에 의존하지 않는 프레임워크에서 새로운 이토의 정리와 SDE의 존재성/유일성 결과를 도출한다. 이는 고전적 이토 미적분을 비선형성과 변동성의 모호성(ambiguity)을 고려한 일반화된 형태로 확장한다.

ABSTRACT

We introduce a notion of nonlinear expectation --G--expectation-- generated by a nonlinear heat equation with infinitesimal generator G. We first discuss the notion of G-standard normal distribution. With this nonlinear distribution we can introduce our G-expectation under which the canonical process is a G--Brownian motion. We then establish the related stochastic calculus, especially stochastic integrals of Ito's type with respect to our G--Brownian motion and derive the related Ito's formula. We have also give the existence and uniqueness of stochastic differential equation under our G-expectation. As compared with our previous framework of g-expectations, the theory of G-expectation is intrinsic in the sense that it is not based on a given (linear) probability space.

연구 동기 및 목표

• 기존의 확률공간에 의존하지 않는 비선형 기대값 프레임워크를 개발함으로써 고전적 확률이론의 한계를 해결하고자 한다.
• 생성자 G를 갖는 완전히 비선형 열방정식을 통해 G-브라운운동과 G-정규분포를 정의하고자 한다.
• G-기대값에 기반한 이토 유형의 확률미분계산법을 수립하고, 확률적 적분과 이토의 정리를 포함하고자 한다.
• G-프레임워크 하에서 확률미분방정식(SDE)의 해가 존재하고 유일함을 증명하고자 한다.
• 금융 및 확률과정에서 변동성의 불확실성을 모델링하기 위한 내재적이고 모델에 종속되지 않는 기초를 제공하고자 한다.

제안 방법

• 생성자 G를 갖는 완전히 비선형 열방정식(G-열방정식)의 해를 통해 G-기대값을 정의함으로써 고전적 열방정식을 일반화한다.
• G-기대값 하에서의 기본과정의 분포로 G-정규분포를 정의하며, 이는 G-열방정식으로부터 유도된다.
• G-브라운운동에 대한 확률적 적분을 단순 과정의 극한 절차를 통해 G-프레임워크 내에서 구성한다.
• 이토의 정리에 대해 두 번째 도함수와 생성자 G를 포함하는 새로운 형태의 정리를 도출하며, 고전적 이토 정리를 일반화한다.
• 공간 $M_G^2(0,T;\mathbb{R}^n)$ 내에서 수축사상 원리를 증명하여 G-기대값 하에서 SDE의 해가 존재하고 유일함을 확립한다.
• G-조건부 기대값과 G-기대값 하에서의 $L^2$-노름을 포함한 사전 추정치를 활용하여 수렴성과 안정성을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 확률공간에 의존하지 않고 내재적으로 비선형 기대값을 구성할 수 있는가?
• RQ2 완전히 비선형 열방정식으로부터 유도된 G-브라운운동에 대해 어떤 이토 유형의 확률미분계산법을 개발할 수 있는가?
• RQ3 G-기대값 하에서 이토의 정리는 어떤 형태를 가지며, 고전적 이토 정리와 어떻게 다를까?
• RQ4 G-브라운운동에 의해 유도되는 확률미분방정식은 어떤 조건에서 유일한 해를 갖는가?
• RQ5 G-프레임워크는 일관된 위험측도와 변동성의 불확실성 모델과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• G-기대값은 사전에 정의된 확률공간이 필요 없이 생성자 G를 갖는 완전히 비선형 열방정식의 해를 통해 내재적으로 정의된다.
• G-기대값 하에서 기본과정은 G-브라운운동이며, 이는 G-열방정식으로부터 도출된 G-정규분포로 특징지어진다.
• G-브라운운동에 대해 두 번째 도함수와 생성자 G를 포함하는 새로운 이토의 정리가 도출되었으며, 고전적 이토 정리를 일반화한다.
• G-기대값 하에서 이토 유형의 확률적 적분이 구성되었으며, $L^2$-추정치와 극한 절차를 통해 수렴성이 확보되었다.
• 계수들이 리프시츠 조건을 만족할 경우, $X_t = X_0 + \int_0^t b(X_s)ds + \int_0^t h(X_s)d\langle B\rangle_s + \int_0^t \sigma(X_s)dB_s$ 형태의 확률미분방정식은 $M_G^2(0,T;\mathbb{R}^n)$ 내에서 유일한 해를 갖는다.
• 이 프레임워크는 완전히 비선형 편미분방정식과 변동성의 모호성 모델링을 위한 확률적 기초를 제공하며, 일관된 위험측도와 동치임을 보여준다.