[논문 리뷰] G-expectations in infinite dimensional spaces and related PDEs

Anton Ibragimov|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 21.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 57인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 무한차원 힐버트 공간으로 G기대값 이론을 확장하며, G브라운운동, G확률적 적분, 그리고 G정규 랜덤 변수를 위한 공분산 집합을 도입한다. G기대값을 이용해 일阶항이 유계가 아닌 완전히 비선형인 포물형 편미분방정식의 유일한 점성해를 확률적 표현으로 제시한다. 이는 G브라운운동에 의해 구동되는 무한차원 옴스타인-울렌벡 과정의 G기대값을 통해 이루어진다.

ABSTRACT

In this paper, we extend the G-expectation theory to infinite dimensions. Such notions as a covariation set of G-normal distributed random variables, viscosity solution, a stochastic integral driven by G-Brownian motion are introduced and described in the given infinite dimensional case. We also give a probabilistic representation of the unique viscosity solution to the fully nonlinear parabolic PDE with unbounded first order term in Hilbert space in terms of G-expectation theory.

연구 동기 및 목표

• 표준 유한차원 도구가 유계가 아닌 연산자로 인해 실패하는 무한차원 힐버트 공간으로 G기대값 이론을 확장하는 것.
• 힐버트 공간에서 G브라운운동에 대한 확률적 적분을 정의하여, 무한차원에서의 확률적 미분방정식의 연구를 가능하게 하는 것.
• 힐버트 공간에서 일阶항이 유계가 아닌 완전히 비선형인 포물형 편미분방정식의 유일한 점성해를 무한차원에서 확률적 표현으로 제공하는 것.
• 무한차원에서 G기대값과 확률적 미적분학을 사용하여 점성해의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 클래식한 확률적 표현(예: 파인만-카프)을 무한차원 공간에서 완전히 비선형적이며 비마르코프적 상황으로 일반화하는 것.

제안 방법

• 힐버트 공간의 유계, 자기수반, 컴act 연산자 공간에 대해 단조성, 하위선형성, 연속성을 만족하는 G기능을 도입한다.
• G기대값과 관련된 확률과정으로서 힐버트 공간에서의 G브라운운동을 정의하여, 표준 브라운운동을 하위선형 기대값으로 일반화한다.
• 예측 가능하고 힐베르트-슈미트 연산자 값을 갖는 과정의 집합을 사용하여 G브라운운동에 대한 G확률적 적분을 구성한다.
• 무한차원 설정에서 이토의 등식과 BDG 유형 부등식을 적용하여 확률적 적분의 적분 가능성과 수렴성을 보장한다.
• 옴스타인-울렌벡 유형의 확률적 미분방정식을 유도한다: $ dX_t = A X_t dt + dB_t $, 여기서 $ X_t $ 는 G브라운운동에 의해 구동된다.
• 해 $ X_T^{t,x} $ 를 사용하여 후보 해 $ u(t,x) = \mathbb{E}[f(X_T^{t,x})] $ 를 정의한다. 여기서 $ \mathbb{E} $ 는 G기대값이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 G기대값 이론을 어떻게 일관적으로 무한차원 힐버트 공간으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 무한차원에서 G확률적 적분과 G브라운운동의 적절한 정의는 무엇인가?
• RQ3 일阶항이 유계가 아닌 완전히 비선형인 포물형 편미분방정식의 점성해를 힐버트 공간에서 확률적으로 표현할 수 있는가?
• RQ4 G기대값 방법을 사용할 때 이러한 해의 존재성과 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 표준 확률적 미적분 도구(이토의 등식, BDG 부등식)는 이 무한차원, 하위선형 설정에서 어떻게 일반화되는가?

주요 결과

• 유계, 자기수반, 컴 pact 연산자 공간에 대해 하위선형성, 단조성, 연속성을 만족하는 새로운 G기능의 클래스를 정의한다.
• 예측 가능하고 힐베르트-슈미트 연산자 값을 갖는 피적분자에 대해 G브라운운동에 대한 G확률적 적분을 구성하여 수렴성과 적분 가능성을 보장한다.
• 편미분방정식 $ \partial_t u + \langle Ax, D_x u \rangle + G(D_{xx}^2 u) = 0 $ 의 해는 $ u(t,x) = \mathbb{E}[f(X_T^{t,x})] $ 로 표현되며, 여기서 $ X_T^{t,x} $ 는 G브라운운동에 의해 구동되는 SDE의 해이다.
• 해 $ u $ 는 $ \delta \to 0 $ 으로 갈 때의 변형 및 극한 접근을 통해 점성해임을 보이며, 적절한 생성자 조건을 도출한다.
• BDG 부등식과 연산자 노름 추정을 기반으로 $ L^2 $ 수렴과 모멘트 추정을 사용하여 $ (t,x) $ 에서의 연속성을 확보한다.
• 해는 종단 조건 $ f $ 로부터 유도되는 B연속성과 다항식 성장성을 유지하며, G기대값 프레임워크 하에서 정규성을 보장한다.