[논문 리뷰] Gagliardo-Nirenberg inequalities in Lorentz type spaces and energy equality for the Navier-Stokes system

Yanqing Wang, Wei Wei외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 21.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 33인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 베르누아의 부등식, 로렌츠 공간의 임bedding, 리틀우드-파일의 분해를 이용하여 두 번째 지수에 대한 제약 없이 로렌츠 유형 공간에서 일반적인 가가르도-니레버그 부등식을 수립한다. 이를 통해 3D 나비에-스토크스 방정식에 대한 새로운 에너지 보존 기준을 증명하며, 속도와 그 기울기가 더 넓은 지수 범위의 로렌츠 공간에 있을 수 있도록 하여 신브로트의 조건을 개선한다.

ABSTRACT

In this paper, we derive some new Gagliardo-Nirenberg type inequalities in Lorentz type spaces without restrictions on the second index of Lorentz norms, which generalize almost all known corresponding results. Our proof mainly relies on the Bernstein inequalities in Lorentz spaces, the embedding relation among various Lorentz type spaces, and Littlewood-Paley decomposition techniques. In addition, we establish several novel criteria in terms of the velocity or the gradient of the velocity in Lorentz spaces for energy conservation of the 3D Navier-Stokes equations. Particularly, we improve the classical Shinbrot's condition for energy balance to allow both the space-time directions of the velocity to be in Lorentz spaces.

연구 동기 및 목표

• 로렌츠 유형 공간에서 가가르도-니레버그 부등식의 가장 일반적인 형태를 도출하여, 이전에 로렌츠 노름의 두 번째 지수에 대한 제약 조건을 제거한다.
• 특히 분수계 도함수에 대해, 로렌츠 공간에서의 임계 및 준임계 영역으로의 가가르도-니레버그 부등식의 적용 범위를 확장한다.
• 속도와 기울기가 로렌츠 공간에 있을 때의 새로운 충분조건을 통해 3D 나비에-스토크스 방정식의 에너지 보존을 확립한다.
• 속도와 그 기울기가 로렌츠 공간에 있을 수 있도록 허용함으로써, 신브로트의 고전적 에너지 균형 조건을 개선한다.
• 속도와 그 도함수의 로렌츠 공간 노름에 기반한 에너지 보존 기준을 통합하는 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 로렌츠 공간에서의 베르누아 부등식을 사용하여 주파수 국소화된 노름을 제어한다.
• 다양한 로렌츠 유형 공간 간의 임베딩 관계를 활용하여 서로 다른 함수 공간 노름을 연결한다.
• 함수를 이진 주파수 블록으로 분해하기 위해 리틀우드-파일 분해를 적용하여 정밀한 추정을 수행한다.
• 일반적인 로렌츠 공간에서의 가가르도-니레버그 부등식을 유도한다: $\|\Lambda^{\sigma}u\|_{L^{p,1}} \leq C\|u\|_{L^{q,\infty}}^{\theta}\|\Lambda^{s}u\|_{L^{r,\infty}}^{1-\theta}$, 여기서 $\frac{n}{p}-\sigma = \theta\frac{n}{q} + (1-\theta)(\frac{n}{r}-s)$.
• 새로운 부등식을 적용하여 3D 나비에-스토크스 시스템에서 로렌츠 공간에서의 보간과 헬더 부등식을 통해 에너지 보존 기준을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 번째 지수에 대한 제약 없이 로렌츠 공간에서 일반적인 가가르도-니레버그 부등식을 수립할 수 있는가?
• RQ2 이러한 부등식은 3D 나비에-스토크스 방정식의 에너지 보존 기준을 유도하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ3 속도와 그 기울기가 로렌츠 공간에 있을 수 있도록 허용함으로써, 신브로트의 고전적 에너지 균형 조건은 어느 정도까지 개선될 수 있는가?
• RQ4 리틀우드-파일 분해와 베르누아 부등식은 로렌츠 유형 함수 공간에서의 정밀한 추정을 도출하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 고전적인 $L^2$ 기반 기준을 초월하여 3D 나비에-스토크스 방정식의 에너지 등식이 성립하는 함수 공간 영역은 어떤가?

주요 결과

• 로렌츠 공간에서 새로운 일반적인 가가르도-니레버그 부등식이 수립된다: $\|\Lambda^{\sigma}u\|_{L^{p,1}} \leq C\|u\|_{L^{q,\infty}}^{\theta}\|\Lambda^{s}u\|_{L^{r,\infty}}^{1-\theta}$, 여기서 $0 < \theta < 1 - \frac{\sigma}{s}$ 이고 $s - \frac{n}{r} \neq \sigma - \frac{n}{p}$ 이다.
• 이 부등식은 이전의 결과들, 특히 하자이에이프-유-즈라이, 매코럼릭-로빈슨-로드리고, 도아-디아즈-낭위에의 결과들에서 제약 조건을 제거하여 일반화한다.
• 3D 나비에-스토크스 방정식의 에너지 보존은 $v \in L^\infty(0,T;L^2) \cap L^2(0,T;\dot{H}^1)$ 이고 $\nabla v \in L^p(0,T;L^{q,\infty})$ 이며 $3/2 < q < 9/5$ 이고 $1/s < p < 3$ 라는 조건 하에 증명된다.
• 논문은 속도의 공간 및 시간 방향이 모두 로렌츠 공간에 있을 수 있도록 허용함으로써 신브로트의 조건을 개선하여 적용 범위를 넓혔다.
• 새로운 가가르도-니레버그 부등식을 핵심 도구로 사용하여, 로렌츠 공간에서의 보간과 헬더 부등식을 통해 에너지 등식이 확립된다.
• 결과는 베소-로렌츠 공간으로까지 확장되어, $p_1$, $q_1$, $s$ 에 대한 적절한 조건 하에서 $\int_0^T \|\nabla v\|^{p_1}_{L^{q_1}} ds < \infty$ 이면 에너지 보존이 성립함을 보여준다.