[논문 리뷰] Gain and phase type multipliers for feedback robustness

Axel Ringh, Xin Mao외 3명|arXiv (Cornell University)|2022. 03. 22.

Stability and Control of Uncertain Systems인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 구조적 불확실성—특히 이득 유형(크기) 또는 위상 유형(위상) 불확실성—에 대한 강건한 피드백 안정성을 확보하기 위해서는 해당 불확실성 유형에 대응하는 구조적 승수의 존재가 필수적임을 입증한다. 위상 불확실성에 대한 강건성은 위상 유형 승수(대각 블록이 0인)가 필요하고, 이득 불확실성에 대한 강건성은 이득 유형 승수(비대각 블록이 0인)가 필요하다. 핵심 기여는 불확실성 유형과 승수 구조 사이의 이중성(duality)을 규명함으로써, 적분 평방 제약 조건 프레임워크 내에서 소형이득 정리와 소형위상 정리를 일반화하는 데 있다.

ABSTRACT

It is known that the stability of a feedback interconnection of two linear time-invariant systems implies that the graphs of the open-loop systems are quadratically separated. This separation is defined by an object known as the multiplier. The theory of integral quadratic constraints shows that the converse also holds under certain conditions. This paper establishes that if the feedback is robustly stable against certain structured uncertainty, then there always exists a multiplier that takes a corresponding form. In particular, if the feedback is robustly stable to certain gain-type uncertainty, then there exists a corresponding multiplier that is of phase-type, i.e., its diagonal blocks are zeros. These results build on the notion of phases of matrices and systems, which was recently introduced in the field of control. Similarly, if the feedback is robustly stable to certain phase-type uncertainty, then there exists a gain-type multiplier, i.e., its off-diagonal blocks are zeros. The results are meaningfully instructive in the search for a valid multiplier for establishing robust closed-loop stability, and cover the well-known small-gain and the recent small-phase theorems.

연구 동기 및 목표

• 승수 이론을 활용하여 구조적 불확실성 하에서 강건한 피드백 안정성에 필요한 조건을 수립하기 위해.
• 이득 또는 위상 유형의 불확실성과 위상 유형 또는 이득 유형의 승수 구조 사이의 이중성 관계를 명확히 하기 위해.
• 강건성의 존재가 특정 구조적 승수의 존재를 암시함을 보여줌으로써 소형이득 정리와 소형위상 정리를 일반화하기 위해.
• 특정 불확실성 유형에 대한 강건성을 확보하기 위해 승수 탐색을 구조적 형태로 제한하는 데 이르는 이론적 기반을 제공하기 위해.

제안 방법

• 구조적 승수를 동반한 적분 평방 제약 조건(IQC)을 통한 이차 그래프 분리 기법을 사용한다.
• 파르세발-플랑커렐 정리를 적용하여 시간 도메인 적분과 주파수 도메인 부등식을 연결한다.
• 특이값 분해(SVD)와 유니터리 변환을 활용하여 임의의 유니터리 교란 하에서의 강건성 분석을 수행한다.
• 치환 행렬과 고유값 분석을 활용하여 행렬의 행렬식이 0이 되지 않기 위한 특이값에 대한 필요 조건을 유도한다.
• 유니터리 교란 하에서의 강건 안정성과 위상 유형 또는 이득 유형 승수의 존재 간의 동치성을 증명한다.
• 행렬 위상 이론과 섹터형 행렬 분석을 활용하여 위상 유형 승수를 정의하고 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위상 유형 불확실성에 대한 강건 안정성이 위상 유형 승수의 존재를 암시하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 이득 유형 불확실성에 대한 강건 안정성이 이득 유형 승수의 존재를 필수로 하는가?
• RQ3 이득 유형 또는 위상 유형의 구조적 승수는 특정 불확실성 유형에 대한 피드백 시스템의 강건성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 소형이득 정리와 소형위상 정리는 승수 존재성의 일반적 프레임워크 하에서 통합될 수 있는가?
• RQ5 임의의 유니터리 교란 하에서 강건 안정성의 필요 및 충분 조건은 승수 구조 측면에서 어떻게 기술될 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 안정한 유니터리(전달함수형) 교란에 대한 강건 안정성은 위상 유형 승수의 존재를 암시한다. 즉, 대각 블록이 0인 승수이다.
• 임의의 양의 스칼라 이득 교란에 대한 강건 안정성은 이득 유형 승수의 존재를 암시한다. 즉, 비대각 블록이 0인 승수이다.
• 행렬 A와 B에 대해, 모든 유니터리 U와 V에 대해 det(I + UAVB) ≠ 0 이면, 이는 이차 분리 조건을 만족하는 위상 유형 승수의 존재와 동치이다.
• 행렬 A와 B의 최대 특이값의 곱이 1보다 작으면, 모든 유니터리 교란 하에서 강건성이 유지되며, 위상 유형 승수가 존재한다.
• 이득 유형 승수의 존재는 양의 스칼라 불확실성에 대한 강건성과 필수적이고 충분한 조건이며, 이는 소형이득 정리를 일반화한다.
• 결과적으로 기존의 IQC 이론의 역을 규명한다: 특정 불확실성 유형에 대한 강건성은 해당 유형의 구조적 승수 존재를 암시한다.