[논문 리뷰] Galerkin finite element approximation for semilinear stochastic time-tempered fractional wave equations with multiplicative white noise and fractional Gaussian noise

Yajing Li, Yejuan Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 16.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다중 공간-시간 백색잡음과 분수 차수 고유의 노이즈에 의해 구동되는 반선형 확률적 시간-온화된 분수 차수 파동방정식을 해결하기 위한 갈레르킨 유한요소법을 제시한다. 해의 존재성, 유일성 및 정(regularity)을 확립하고, 모델링 오차 및 공간 근사 오차에 대한 평균제곱 오차 추정을 유도하며, 노이즈와 초기 자료에 대한 적절한 정규성 조건 하에서 최적 수렴 속도를 증명한다.

ABSTRACT

To model wave propagation in inhomogeneous media with frequency-dependent power-law attenuation, it is needed to use the fractional powers of symmetric coercive elliptic operators in space and the Caputo tempered fractional derivative in time. The model studied in this paper is semilinear stochastic space-time fractional wave equations driven by infinite dimensional multiplicative white noise and fractional Gaussian noise, because of the potential fluctuations of the external sources. The purpose of this work is to discuss the Galerkin finite element approximation for the semilinear stochastic fractional wave equation. We first provide a complete solution theory, e.g., existence, uniqueness, and regularity. Then the space-time multiplicative white noise and fractional Gaussian noise are discretized, which results in a regularized stochastic fractional wave equation while introducing a modeling error in the mean-square sense. We further present a complete regularity theory for the regularized equation. A standard finite element approximation is used for the spatial operator, and the mean-square priori estimates for the modeling error and for the approximation error to the solution of the regularized problem are established.

연구 동기 및 목표

• 반선형 확률적 공간-시간 분수 차수 파동방정식에 대한 수치적 방법을 개발한다. 이는 시간에 대한 온화된 캡토 분수 도함수와 분수 라플라스 연산자를 포함한다.
• 주파수 의존성 감쇠를 갖는 비균질 매질에서의 파동 전파를 분수 연산자를 사용하여 모델링하는 데 도전한다.
• 외부 변동으로 인해 발생하는 현실적인 노이즈 원천—다중 공간-시간 백색잡음과 분수 차수 고유의 노이즈—를 통합한다.
• 확률적 분수 차수 파동방정식에 대한 완전한 해 이론을 확립한다. 이는 존재성, 유일성 및 정규성 포함.
• 모델링 오차(노이즈 정규화로 인한 오차)와 유한요소 근사 오차에 대한 평균제곱 오차 추정을 유도하여 수렴성을 보장한다.

제안 방법

• 시간에 대한 순서 α ∈ (3/2, 2)인 온화된 캡토 분수 도함수와 스펙트럼 분수 라플라스 연산자 (−Δ)^β (β ∈ (1/2, 1))를 사용하여 확률적 분수 차수 파동방정식을 수식화한다.
• 무한차원 다중 백색잡음 및 분수 차수 고유의 노이즈의 정규화를 도입하여 수치적 처리를 가능하게 한다.
• 유한요소 공간을 사용한 일관된 유한요소 방법을 적용하여 유한정역의 볼록 다각형 영역에서 공간 이산화를 수행한다.
• 노이즈 정규화로 인한 모델링 오차와 유한요소 근사 오차에 대한 평균제곱 사전 추정을 유도한다.
• 라플라스 연산자의 스펙트럼 분해와 독립적인 분수 차수 브라운 운동을 통한 노이즈 표현을 활용한 확률적 진화방정식 프레임워크를 적용한다.
• 모든 방정식의 결정론적 부분의 기본해를 표현하기 위해 미타그-레플러 함수 Eα,α(·)를 사용하고, 지수적 온화화를 통해 감쇠 행동을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중 백색잡음과 분수 차수 고유의 노이즈에 의해 구동되는 반선형 확률적 시간-온화된 분수 차수 파동방정식의 해에 대한 존재성, 유일성 및 정규성은 무엇인가?
• RQ2 무한차원 노이즈 항의 정규화가 평균제곱 의미에서 해에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 정규화된 확률적 분수 차수 파동방정식에 대한 갈레르킨 유한요소 근사의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ4 허스트 매개수 H ∈ (1/2, 1)과 온화화 매개수 ν는 정규성과 근사 오차에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 다중 노이즈 존재 하에서 모델링 오차와 공간 이산화 오차에 대한 최적의 평균제곱 오차 경계는 무엇인가?

주요 결과

• 비선형성과 노이즈에 대한 적절한 가정 하에, 확률적 분수 차수 파동방정식의 해는 존재하며 유일하며, 소볼레프 공간 H^2eγ 및 H^2eγ−2β/α 내에서 충분한 정규성을 갖는다.
• 무한차원 백색잡음 및 분수 차수 고유의 노이즈의 정규화로 인해 발생하는 모델링 오차는 평균제곱 의미에서 O(τ²)로 유계이며, 여기서 τ는 시간 스텝 크기이다.
• 유한요소 근사 오차는 H^2eγ−2β/α 노름에서 O(τ²)로 유계이며, 이는 주어진 정규성 조건 하에서 시간에 대해 2차 수렴을 나타낸다.
• 수렴 속도는 최적이며, 노이즈의 정규성에 따라 달라지며, 오차는 노이즈 공분산 연산자의 고유값의 합에 의해 제어된다.
• 오차 추정은 시간에 대해 균일하며, 온화화 매개수 ν와 허스트 매개수 H에 따라 달라지며, 후자는 노이즈 경로의 호일더 연속성에 영향을 준다.
• 최종 오차 경계는 모델링 오차와 근사 오차를 종합하여 E∥u(t) − un(t)∥²_H^2eγ−2β/α ≤ Cτ² + C∑(ηₗⁿ)² + C∑(ẽηₗⁿ)²로 표현되며, 노이즈 정규화와 시간 스텝이 0으로 갈수록 수렴함을 확인한다.