[논문 리뷰] Galerkin Methods for the Fully Nonlinear Monge-Ampère Equation

Xiaobing Feng, Michael Neilan|ArXiv.org|2007. 12. 07.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 완전히 비선형 몽체-암페르 방정식에 대해 가우러킨 유한요소 및 스펙트럴 방법을 개발하고 분석하며, 퇄소 모멘트 방법을 사용하여 방정식을 제4형 비선형 문제로 정규화한다. 주요 기여는 정규화 매개변수 $\varepsilon$에 명시적인 의존성을 가지는 최적 오차 추정이다. 수치적 증거는 전역 오차 $u^0 - u_h^\varepsilon$의 최적 수렴률을 얻기 위해 $h = \varepsilon^{1/2}$를 사용할 경우에 최적임을 보여준다. 이 방법은 선형화된 문제의 안정성에 기반한 고정점 추론을 통해 표준 섭동 기법의 실패를 극복한다.

ABSTRACT

This paper develops and analyzes finite element Galerkin and spectral Galerkin methods for approximating viscosity solutions of the fully nonlinear Monge-Ampère equation $\det(D^2u^0)=f$ based on the vanishing moment method which was developed by the authors in \cite{Feng2,Feng1}. In this approach, the Monge-Ampère equation is approximated by the fourth order quasilinear equation $-εΔ^2 u^ε+ \det{D^2u^ε} =f$ accompanied by appropriate boundary conditions. This new approach allows one to construct convergent Galerkin numerical methods for the fully nonlinear Monge-Ampère equation, a task which has been impracticable before. In this paper, we first develop some finite element and spectral Galerkin methods for approximating the solution $u^ε$ of the regularized fourth order problem. We then derive optimal order error estimates for the proposed numerical methods. In particular, we track explicitly the dependence of the error bounds on the parameter $\vepsi$, for the error $u^ε-u^ε_h$. Finally, using the Aygris finite element method as an example, we present a detailed numerical study of the rates of convergence in terms of powers of $\vepsi$ for the error $u^0-u_h^\vepsi$, and numerically examine what is the "best" mesh size $h$ in relation to $\vepsi$ in order to achieve these rates.

연구 동기 및 목표

• 강한 비선형성으로 이전에는 실현 가능하지 않았던 완전히 비선형 몽체-암페르 방정식에 대해 수렴하는 가우러킨 수치적 방법을 개발하는 것.
• 정규화된 제4형 비선형 문제 $-\varepsilon\Delta^2 u^\varepsilon + \det(D^2 u^\varepsilon) = f$에 대해 유한요소 및 스펙트럴 가우러킨 방법을 분석하는 것.
• 정규화 매개변수 $\varepsilon$에 명시적인 의존성을 가지는 $u^\varepsilon - u_h^\varepsilon$에 대한 최적 오차 추정을 유도하는 것.
• 전역 오차 $u^0 - u_h^\varepsilon$의 최적 수렴률을 달성하기 위해 메쉬 크기 $h$와 정규화 매개변수 $\varepsilon$ 사이의 최적 관계를 규명하는 것.

제안 방법

• 완전히 비선형 몽체-암페르 방정식을 제4형 비선형 문제로 정규화하기 위해 퇴화 모멘트 방법을 적용한다: $-\varepsilon\Delta^2 u^\varepsilon + \det(D^2 u^\varepsilon) = f$.
• 정규화된 문제의 해 $u^\varepsilon$를 근사하기 위해 가우러킨 유한요소 및 스펙트럴 가우러킨 방법을 사용한다.
• 강한 비선형성으로 인해 표준 섭동 기법이 실패할 경우를 대비해 선형화된 문제의 안정성과 그 유한요소 근사의 안정성에 기반한 고정점 기법을 활용한다.
• $L^2$, $H^1$, $H^2$ 노름에서 오차를 분석하며, 오차 추정에 명시적인 $\varepsilon$-의존성을 추적한다.
• 메쉬 크기 $h$와 $\varepsilon$에서의 수렴률을 연구하기 위해 아이그리스 유한요소 방법을 수치적 예시로 사용한다.
• $u^0 = x^4 + y^2$ 및 $u^0 = 20x^6 + y^6$를 사용하여 $h$-$\varepsilon$ 관계에 따라 다른 조건에서 수렴성을 시험하는 수치 실험을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규화된 몽체-암페르 문제에 대한 가우러킨 방법의 최적 수렴률은 $h$와 $\varepsilon$에 대해 어떻게 되는가?
• RQ2 $\varepsilon$ 매개변수에 따라 오차 $u^\varepsilon - u_h^\varepsilon$는 어떻게 의존하는가?
• RQ3 강한 비선형성으로 인해 표준 섭동 기법이 실패할 경우, 고정점 추론을 통해 최적 오차 추정을 확립할 수 있는가?
• RQ4 전역 오차 $u^0 - u_h^\varepsilon$의 최적 수렴률을 달성하기 위해 메쉬 크기 $h$를 $\varepsilon$에 대해 어떻게 선택해야 하는가?
• RQ5 $h = \varepsilon^{1/2}$일 때, 전역 오차 $u^0 - u_h^\varepsilon$의 수렴률이 $u^0 - u^\varepsilon$의 수렴률과 일치하는가?

주요 결과

• $L^2$, $H^1$, $H^2$ 노름에서 $u^\varepsilon - u_h^\varepsilon$에 대한 최적 오차 추정이 유도되었으며, 이는 $\varepsilon$에 명시적인 의존성을 가진다.
• 수치 결과는 이론적 예측보다 오차가 더 빠르게 수렴하는 것으로 나타났으며, $\varepsilon = 0.001$일 때 $\|u^\varepsilon - u_h^\varepsilon\|_{L^2} \approx O(h^6)$, $\|u^\varepsilon - u_h^\varepsilon\|_{H^1} \approx O(h^5)$, $\|u^\varepsilon - u_h^\varepsilon\|_{H^2} \approx O(h^4)$로 나타난다.
• $h = \varepsilon^{1/2}$일 때 전역 오차 $\|u^0 - u_h^\varepsilon\|_{H^2}$는 $O(\varepsilon^{1/4})$로 수렴하며, 이는 $\|u^0 - u^\varepsilon\|_{H^2}$의 수렴률과 일치한다.
• $h = \varepsilon^{1/2}$일 때 전역 오차 $\|u^0 - u_h^\varepsilon\|_{L^2}$는 $O(\varepsilon)$로 수렴하며, 이는 $\|u^0 - u^\varepsilon\|_{L^2}$의 수렴률과 일치한다.
• $h = \varepsilon$일 때 $H^1$-오차 $\|u^0 - u_h^\varepsilon\|_{H^1}$는 $O(\varepsilon^{1/2})$로 수렴하여, 부분적으로 최적 수렴률을 달성하지 못함을 나타낸다.
• $h = \varepsilon^{1/2}$는 모든 노름에서 전역 오차의 최적 수렴률을 달성하는 데 있어 최적의 선택임이 수치적으로 확인되었다.