[논문 리뷰] Galois groups of co-abelian ball quotient covers

Азнив Каспарян|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 30.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 타원 곡선 $E$에 대해 분할 아벨 표면 $A = E \times E$의 자동사상군의 유한부군을 분류하고, 기하학적 불변량 이론을 통해 몫 $A/H$의 코다이라-에르니케스 유형을 결정한다. 이들은 이러한 군에 대해 명시적인 생성자와 관계를 제공하며, 몫이 초타원곡면인지, 타원곡면을 기저로 하는 룰러드 곡면인지, 에르니케스 곡면인지, 또는 유리 곡면인지의 조건을 규명하고, 유한군의 작용에 의한 공역의 볼 몫에 대한 갈로아 코팅과 토로이드적 컴팩트리피케이션을 연결한다.

ABSTRACT

If $X'= ({\mathbb B} / Γ)'$ is a torsion free toroidal compactification of a discrete ball quotient $X_o={\mathbb B} / Γ$ and $ξ: (X', T = X'\setminus X_o) ightarrow (X, D = ξ(T))$ is the blow-down of the $(-1)$-curves to the corresponding minimal model, then $G'= Aut (X',T)$ coincides with the finite group $G=Aut(X,D)$. In particular, for an elliptic curve $E$ with endomorphism ring $R = End(E)$ and a split abelian surface $X = A = E imes E$, $G$ is a finite subgroup of $Aut(A) = \mathcal{T}_A \leftthreetimes GL(2,R)$, where $(\mathcal{T}_A,+) \simeq (A,+)$ is the translation group of $A$ and $GL(2,R) = \{g \in R_{2 imes 2} \| \det(g) \in R^* \}$. The present work classifies the finite subgroups $H$ of $Aut (A = E imes E)$ for an arbitrary elliptic curve $E$. By the means of the geometric invariants theory, it characterizes the Kodaira-Enriques types of $A/H \simeq ({\mathbb B} / Γ)'/H$, in terms of the fixed point sets of $H$ on $A$. The abelian and the K3 surfaces $A/H$ are elaborated in \cite{KN}. The first section provides necessary and sufficient conditions for $A/H$ to be a hyper-elliptic, ruled with elliptic base, Enriques or a rational surface. In such a way, it depletes the Kodaira-Enriques classification of the finite Galois quotients $A/H$ of a split abelian surface $A = E imes E$. The second section derives a complete list of the conjugacy classes of the linear automorphisms $g \in GL(2,R)$ of $A$ of finite order, by the means of their eigenvalues. The third section classifies the finite subgroups $H$ of $GL(2,R)$. The last section provides explicit generators and relations for the finite subgroups $H$ of $Aut(A)$ with K3, hyper-elliptic, rules with elliptic base or Enriques quotients $A/H \simeq ({\mathbb B} / Γ)'/H$.

연구 동기 및 목표

• 임의의 타원 곡선 $E$에 대해 $A = E \times E$의 모든 유한부군 $H$를 분류하는 것.
• 부분군 $H$가 아벨 표면 $A$ 위에서 고정점 집합을 통해 몫 $A/H$의 코다이라-에르니케스 유형을 특성화하는 것.
• 기하학적 불변량 이론을 통해 $A/H$가 초타원곡면, 타원곡면을 기저로 하는 룰러드 곡면, 에르니케스 곡면, 또는 유리 곡면이 되는 조건을 규명하는 것.
• K3, 초타원곡면, 룰러드 곡면, 또는 에르니케스 곡면 몫을 유도하는 유한부군 $H \subset Aut(A)$에 대해 명시적인 생성자와 관계를 제공하는 것.

제안 방법

• 기하학적 불변량 이론을 사용하여 $A/H$의 구조를 분석하고, $H$가 $A$ 위에서 고정점 집합에 기반하여 코다이라-에르니케스 유형을 분류하는 데 사용한다.
• $R = \text{End}(E)$이면 $GL(2,R)$ 내의 유한순서 선형자기동형사상의 분류를 고유값을 통해 수행한다.
• $Aut(A) \simeq \mathcal{T}_A \ltimes GL(2,R)$의 준직접곱 구조를 이용하여, $Aut(A)$의 유한부군 $H \subset$의 분류 문제를 $GL(2,R)$의 유한부군 분류 문제로 환원한다.
• $\Gamma_0$가 토르션 자유이고 $\Gamma$가 $SU_{2,1}$의 격자이면, $H = \Gamma / \Gamma_0$가 토로이드적 컴팩트리피케이션 $X' = ({\mathbb{B}}/\Gamma_0)'$ 위에서 작용하는 것을 분석한다.
• $\Gamma_0$가 $\Gamma$의 유한지수 정규부군이므로, $H = \Gamma / \Gamma_0$는 경계 divisor $T = X' \setminus X_0$ 위에서 작용하며, 이에 따라 $\overline{{\mathbb{B}}/\Gamma} = X'/H$는 최소한의 순환 몫 특이점을 갖는 컴팩트리피케이션을 형성한다.
• $\overline{{\mathbb{B}}/\Gamma}$의 최소모형은 $A/H$와 유리형이며, 특이점의 해소와 고정점 분석을 통해 불변량을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 유한부군 $H \subset Aut(A = E \times E)$가 몰입 $A/H$를 초타원곡면, 타원곡면을 기저로 하는 룰러드 곡면, 에르니케스 곡면, 또는 유리 곡면으로 만드는가?
• RQ2 부분군 $H$의 고정점 집합에 대해 $A/H$가 주어진 코다이라-에르니케스 유형을 갖는 데 필요한 충분조건은 무엇인가?
• RQ3 $R = \text{End}(E)$이면, 특히 타원곡선 $E$에 대해 $GL(2,R)$의 유한부군을 고유값과 순서에 따라 어떻게 분류할 수 있는가?
• RQ4 어떤 유한부군 $H \subset Aut(A)$에 대해 $A/H$가 K3, 초타원곡면, 룰러드 곡면, 또는 에르니케스 곡면 유형이 되도록 하는 명시적인 생성자와 관계는 무엇인가?
• RQ5 공아벨리안 볼 몫 코팅의 갈로아 군은 토로이드적 컴팩트리피케이션 $X'$과 그 몫 $X'/H$의 자동사상군과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 유한군 $G = \text{Aut}(X,D)$는 $G' = \text{Aut}(X',T)$와 일치한다. 여기서 $X' = ({\mathbb{B}}/\Gamma_0)'$는 토르션 자유 볼 몫 $X_0 = {\mathbb{B}}/\Gamma_0$의 토로이드적 컴팩트리피케이션이고, $T = X' \setminus X_0$는 경계 divisor이다.
• 임의의 유한부군 $H \subset \text{Aut}(A = E \times E)$에 대해, 몰입 $A/H$는 $H$의 고정점 구조에 따라 초타원곡면, 타원곡면을 기저로 하는 룰러드 곡면, 에르니케스 곡면, 유리 곡면, 또는 K3 곡면과 유리형인 최소 곡면 $Y$와 유리형이다.
• 유한부군 $GL(2,R)$의 분류는 고유값을 통해 이루어지며, $GL(2,R)$ 내의 유한순서 원소의 가능한 순서는 $s \in \{2,3,4,6\}$이며, 이러한 군의 구조는 선형부분과 이동부분에 의해 완전히 결정된다.
• 준직접곱 구조와 고정점 분석을 사용하여, $A/H$가 코다이라-에르니케스 유형 K3, 초타원곡면, 타원곡면을 기저로 하는 룰러드 곡면, 또는 에르니케스 곡면이 되는 $H \subset \text{Aut}(A)$의 유한부군에 대해 명시적인 생성자와 관계를 제공한다.
• $H = \Gamma / \Gamma_0$의 토로이드적 컴팩트리피케이션 $X' = ({\mathbb{B}}/\Gamma_0)'$ 위에서의 작용은 잘 정의되어 있으며 경계 divisor $T$를 보존한다. 이에 따라 $\overline{{\mathbb{B}}/\Gamma} = X'/H$는 최소한의 고립된 순환 몫 특이점을 갖는 컴팩트리피케이션을 형성한다.
• $\overline{{\mathbb{B}}/\Gamma}$의 최소모형은 $A/H$와 유리형이며, 그 수치적 불변량(예: $K^2$, $\chi$, $p_g$)은 $H$가 $A$ 위에서 작용하는 데 기하학적 불변량 이론을 적용하여 계산된다.