[논문 리뷰] Galois Groups of Generic Polynomials

Igor Rivin|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 19.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 10인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 계수가 정수이고 구간 $[-N, N]$ 내에 있는 임의의 모닉 다항식이 전체 대칭군 $S_d$ 가 아닌 갈루아 군을 가질 확률이 $\frac{\log^{f(d)}N}{N}$ 이하로 유계임을 증명한다. 여기서 $f(d)$ 는 효과적으로 계산 가능한 다항식으로 증가하는 함수이다. 이 결과는 대수기하학(랭-웨일 추정), 군론(유한 단순군의 분류), 그리고 해석다항식을 이용하여 약분 가능성과 갈루아 군 제약 조건을 분석함으로써, 일반적인 다항식의 갈루아 군 분포에 관한 오랜 동안 미해결이었던 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We show that the Galois group of a random monic polynomial %of degree $d>12$ with integer coefficients between $-N$ and $N$ is NOT $S_d$ with probability $\ll \frac{\log^{Ω(d)}N}{N}.$ Conditionally on NOTbeing the full symmetric group, we have a hierarchy of possibilities each of which has polylog probability of occurring. These results also apply to random polynomials with only a subset of the coefficients allowed to vary. This settles a question going back to 1936.

연구 동기 및 목표

• 제한된 정수 계수를 가진 임의의 모닉 다항식의 갈루아 군 분포에 관한 오랜 동안 미해결이었던 문제를 해결하기 위해.
• 이러한 다항식이 $S_d$ 또는 $A_d$ 가 아닌 갈루아 군을 가질 확률에 대해 날카로운 상한을 설정하기 위해.
• 일부 계수만 랜덤일 경우, 약간의 비퇴화 조건이 만족될 때까지 이러한 유계를 확장하기 위해.
• 각각 다항로그 확률로 발생하는 가능한 갈루아 군의 조건부 계층을 제공하기 위해.
• 비-$S_d$ 갈루아 군을 가질 확률이 $N^{-1}$ 의 어떤 거듭제곱보다도 더 빠르게 감소하며, 추측에 따르면 선형 감소에 가까워진다는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 다항식 인수분해 조건으로 정의된代수다양체 위의 높이가 제한된 정수점의 수를 유계하기 위해 랭-웨일 추정을 적용한다.
• 계수의 제약 조건이 있는 다항식의 갈루아 군에 관한 S. D. 코헨의 결과를 활용하여 작은 갈루아 군이 나타날 가능성을 통제한다.
• $S_d$ 의 부분군, 특히 $A_d$ 와 관련된 해석다항식을 구성하여 갈루아 군이 그 안에 포함되어 있는지 여부를 탐지한다.
• 정리 9.3을 활용: 갈루아 군이 부분군 $G$ 의 코너제트와 일치할 경우, 해석다항식 $Q_G(p)$ 는 정수 해를 가져야 한다.
• 특정 해석다항식이 정수 해를 가지는 다항식의 수가 $O(N^{d-1} \log^{f(d)}N)$ 이하로 유계지므로, 최종적인 확률 유계로 이어진다.
• 유한 단순군의 분류를 활용하여 $f(d)$ 의 성장률을 통제함으로써, $d$ 에 대해 다항식으로 증가하는 것을 보장하고 초지수적 성장은 방지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계수가 $[-N, N]$ 내에 있는 임의의 모닉 다항식이 갈루아 군을 $S_d$ 가 아닌 것으로 가지는 점점 줄어드는 확률은 어떻게 점점 줄어드는가?
• RQ2 이 확률은 변하는 계수의 수, 특히 일부 계수가 고정되어 있을 경우 어떻게 달라지는가?
• RQ3 이전 결과들, 예를 들어 $O(N^{-1/6})$ 또는 $O(N^{-2+\sqrt{2}})$ 와 비교해 볼 때, 비-$S_d$ 갈루아 군을 가질 확률을 더 날카롭게 유계로 제한할 수 있는가?
• RQ4 가능한 갈루아 군의 계층(예: $A_d$, 기타 원시군)은 무엇이며, 각각의 발생 확률은 어떻게 되는가?
• RQ5 실제로 비-$S_d$ 갈루아 군의 확률 감소율은 추측된 바와 같이 $O(N^{-1})$ 에 가까운가, 아니면 여전히 다항로그 수준에 머무는가?

주요 결과

• 계수가 $[-N, N]$ 에 속하는 임의의 모닉 다항식이 갈루아 군을 $S_d$ 가 아닌 것으로 가지는 확률은 $\frac{\log^{f(d)}N}{N}$ 이하로 유계되며, 여기서 $f(d)$ 는 $d$ 에 대해 다항식적으로 증가하는 효과적으로 계산 가능한 함수이다.
• 이 유계는 고정된 계수가 다항식의 약분 가능성이나 $p(x) = f(x^k)$ 형태를 유도하지 않는 한, 랜덤 계수가 $r \geq 2$ 개인 경우에도 성립한다.
• 갈루아 군이 $A_d$ 라는 확률은 $\frac{\log^{\Omega(d)}N}{N}$ 이하로 유계되며, 여기서 $\Omega(d)$ 는 $d$ 에 대해 제곱적으로 증가한다.
• 특히 $A_d$ 를 위한 해석다항식 방법을 사용함으로써, 이론에서의 차수 $\geq 12$ 가정이 필요 없어지지만, 만약 유한 단순군의 분류를 사용하지 않으면 $f(d)$ 가 더 크게 증가한다.
• 논문은 각각 다항로그 함수로 감소하는 확률을 가지는 가능한 갈루아 군의 조건부 계층을 제공한다.
• 저자들은 판별식의 제곱성과 완전제곱수의 수를 세는 방식에 기반하여, 실제 감소율이 선형 $O(N^{-1})$ 에 가까울 것이라 추측한다.