[논문 리뷰] Galois representations and torsion in the coherent cohomology of Hilbert modular varieties

Matthew Emerton, Davide A. Reduzzi외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 30.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 20인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $ p $ 가 분비된 무리수인 전체 실수 체수 $ F $ 에 대해, 힐버트 모듈러 색다리 보조다발의 일관성 코homology에서 모듈로 $ p^m $ 헤케 고유클래스에 대응하는 갈루아 pseudo-representation의 존재를 증명한다. 이 pseudo-representation은 연속적이고 $ R_m $-선형이며, 두 차원이다. 핵심 결과는 프로베누스 추적을 통한 헤케 고유값과 이러한 갈루아 pseudo-representation을 연결함으로써, 힐버트 모듈러 설정에서 토르션 코homology로의 모듈라리티 업그레이드 아이디어를 확장한다.

ABSTRACT

Let $F$ be a totally real number field and let $p$ be a prime unramified in $F$. We prove the existence of Galois pseudo-representations attached to mod $p^m$ Hecke eigenclasses of paritious weight occurring in the coherent cohomology of Hilbert modular varieties for $F$ of level prime to $p$.

연구 동기 및 목표

• 히릴버트 모듈러 색다리 보조다발의 일관성 코homology에서 모듈로 $ p^m $ 헤케 고유클래스에 대응하는 갈루아 pseudo-representation의 존재를 확립한다.
• 전체 실수 체수 위의 힐버트 모듈러 형식의 맥락에서, 토르션 코homology 계열에 대해 모듈라리티 업그레이드 기법을 확장한다.
• 캘레가리와 제라티의 모듈라리티 업그레이드 정리 작업을, 짝수 무게를 가진 힐버트 모듈러 보조다발의 일관성 코homology로 일반화한다.
• 특히 비정규 무게에서의 토르션 계열에 대해, 무게 이동과 해소 기법을 통해 일관성 코homology에 있는 갈루아 표현을 부여하는 프레임워크를 제공한다.
• 고전적 모듈라리 형식이 존재하지 않는 상황에서의 존재 문제를 다루며, 힐버트 모듈러 보조다발의 토르oidal 콪actification의 일관성 코homology에 집중한다.

제안 방법

• 경계 divisor $ D $ 를 가진 힐버츠 모듈러 색다리 보조다발의 토르oidal 콩팩티피케이션을 이용하여 일관성 코homology를 연구한다.
• paritious 무게 $ \kappa $ 에 대해 $ \operatorname{Sh}^{\operatorname{tor}} $ 위의 Hodge bundle $ \omega $ 와 자동형선다발 $ \omega^\kappa(-D) $ 를 다룬다.
• 복합체의 리프팅과 해소를 위해 무게 이동 연산자 $ b_\tau $ 와 부분 Hasse 불변량 $ h_\tau $ 를 적용한다.
• 유리형 이중 복합체와 준등형사상( quasi-isomorphism )을 사용하여 Hecke 모듈의 갈루아 유형을 모델링하는 유리한 복합체의 해소를 구성한다.
• 복소체 간의 준등형사상을 이용하여 $ R_m $-모듈 복소체 간의 준등형사상을 활용하여, 정수 $ p $-adic 갈루아 표현의 환원을 통해 pseudo-representation을 실현한다.
• Carayol, Taylor, Blasius-Rogawski 이론을 통해, 특성 0의 힐버츠 모듈러 고유형식에 대응하는 $ p $-adic 갈루아 표현의 반복화를 통해 문제를 단순화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전체 실수 체수 $ F $ 에 대해, 힐버츠 모듈러 보조다발의 일관성 코호몰로지에서 모듈로 $ p^m $ 헤케 고유클래스에 갈루아 pseudo-representation를 부여할 수 있는가?
• RQ2 이러한 pseudo-representation이 모든 유한한 자리 $ \mathfrak{q} \notin S $ 에 대해 기대되는 프로베누스 고유값 조건 $ \tau_c(\operatorname{Frob}_\mathfrak{q}) = a_\mathfrak{q}(c) $ 를 만족하는가?
• RQ3 무게 이동과 복합체의 해소 방법을 사용하여, 토르션 코호몰로지에서 갈루아 유형의 헤케 모듈을 구성할 수 있는가?
• RQ4 이러한 갈루아 표현의 존재성은 힐버츠 모듈러 설정에서 알려진 $ p $-adic 모듈라리티 업그레이드 정리들과 호환되는가?
• RQ5 이러한 구성은 비정규 무게와 비정규 코호몰로지 계열을 포함하도록 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 짝수 무게 $ \kappa $ 에 대해, 각 헤케 고유클래스 $ c \in H^i(\operatorname{Sh}^{\operatorname{tor}}, \omega^\kappa(-D)) $ 에 대해 연속적인 $ R_m $-선형 두 차원 pseudo-representation $ \tau_c $ 가 $ G_{F,S} $ 에 대해 존재한다.
• 모든 유한한 자리 $ \mathfrak{q} \notin S $ 에 대해 pseudo-representation 는 $ \tau_c(\operatorname{Frob}_\mathfrak{q}) = a_\mathfrak{q}(c) $ 를 만족한다. 여기서 $ a_\mathfrak{q}(c) $ 는 $ c $ 에서 $ T_\mathfrak{q} $ 의 헤케 고유값이다.
• 이 구성은 리프팅 연산자 $ b_\tau $ 와 $ h_\tau $ 에 의존하며, 복합체의 준등형사상을 통해 코호몰로지와 헤케 작용을 모델링한다.
• pseudo-representation 는 특성 0의 힐버츠 모듈러 고유형식에 대응하는 정수 $ p $-adic 갈루아 표현의 $ \varpi_E^m $ 모듈로 환원을 통해 유도된다.
• 경계 divisor $ D $ 를 가진 일관성 코호몰로지에서 작업함으로써, 정규 및 비정규 무게 모두에 적용 가능하며, 토르션 계열을 포함한다.
• 이 결과는 캘레가리와 제라티가 힐버츠 모듈러 설정에서 제안한 바와 같이, 모듈로 $ p^m $ 힐버츠 모듈러 고유클래스에 대한 갈루아 표현의 존재 문제를 해결한다.