[논문 리뷰] Galois representations attached to elliptic curves with complex multiplication

Álvaro Lozano‐Robledo|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 07.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 27인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 Q(j(E)) 위에서 복소 곱승(CM)을 가진 타원곡선과 연결된 p진 갈루아 표현의 가능한 것들을 GL(2, Zp) 내에서 동치류에 대해 완전하고 명시적인 분류를 제공한다. 군체계 이론과 복소 곱승 이론을 사용하여, CM 체 K의 판별식 ΔK와 차수 f에 대한 정확한 조건을 포함해, 갈루아 표현 ρE,p∞의 상을 Nδ,φ(p∞) ⊆ GL(2, Zp)의 부분군으로 식별한다. 핵심 결과는 상의 구조에 대한 완전한 특성화로, 이는 Nδ,φ(p∞) 내에서의 지수, 순환 문자의 행동, 그리고 모든 소수 p와 CM j-불변량에 대해 2진 및 p진 상의 명시적 결정을 포함한다.

ABSTRACT

The goal of this article is to give an explicit classification of the possible $p$-adic Galois representations that are attached to elliptic curves $E$ with CM defined over $\mathbb{Q}(j(E))$. More precisely, let $K$ be an imaginary quadratic field, and let $\mathcal{O}_{K,f}$ be an order in $K$ of conductor $f\geq 1$. Let $E$ be an elliptic curve with CM by $\mathcal{O}_{K,f}$, such that $E$ is defined by a model over $\mathbb{Q}(j(E))$. Let $p\geq 2$ be a prime, let $G_{\mathbb{Q}(j(E))}$ be the absolute Galois group of $\mathbb{Q}(j(E))$, and let $ ho_{E,p^\infty}\colon G_{\mathbb{Q}(j(E))} o \operatorname{GL}(2,\mathbb{Z}_p)$ be the Galois representation associated to the Galois action on the Tate module $T_p(E)$. The goal is then to describe, explicitly, the groups of $\operatorname{GL}(2,\mathbb{Z}_p)$ that can occur as images of $ ho_{E,p^\infty}$, up to conjugation, for an arbitrary order $\mathcal{O}_{K,f}$.

연구 동기 및 목표

• Q(j(E)) 위에서 복소 곱승을 가진 타원곡선 E에 대응하는 p진 갈루아 표현 ρE,p∞의 상을 GL(2, Zp) 내에서 동치류에 대해 완전하고 명시적으로 분류하는 것.
• CM 체 K와 차수 f에 의해 매개화된 Nδ,φ(p∞) ⊆ GL(2, Zp)의 부분군으로서 ρE,p∞의 상의 정확한 구조를 규명하는 것.
• ρE,p∞의 상이 Nδ,φ(p∞) 내에서 지수를 결정하여, 이 지수가 4 또는 6을 나누며, 지수가 정확히 2 또는 4가 되는 경우를 특성화하는 것.
• j-불변량 0과 1728에 대해 2진 상을 명시적으로 결정하고, Q 위에서 복소 곱승을 가진 타원곡선에 대해 가능한 모든 2진 상을 분류하는 것.
• 홀수 소수 p에 대해 ρE,p∞가 그 모듈로 p 축소에 대한 전체 역상임을 증명하고, 축소 사상 GL(2, Zp) → GL(2, Z/pZ) 하에서의 순환 문자의 행동을 분석하는 것.

제안 방법

• 군체계 이론과 복소 곱승 이론을 사용하여, E[N]의 N- torsion 점들 위에서 갈루아 작용을 해석하고, ρE,N의 상을 Nδ,φ(N) ⊆ GL(2, Z/NZ)의 부분군으로 식별한다.
• δ와 φ는 판별식 ΔK와 차수 f에 의해 결정되며, Nδ,φ(N)을 카르탕 부분군 Cδ,φ(N)의 확장으로서 정의한다.
• 세르-테이트 이론과 일관된 기저의 체계를 적용하여, 모듈로 N 상을 p진 수준으로 올리고, ρE,p∞를 일관된 표현 체계로 구성한다.
• 복소 공액의 작용과 O×K,f의 단위군의 구조를 이용하여, ρE,p∞의 상이 Nδ,φ(p∞) 내에서 지수를 결정하고 가능한 상을 분류한다.
• 특히 p = 2 및 j = 0인 경우, (OK,f / NOK,f)×의 부분군에 대한 세밀한 군론적 분석을 통해 가능한 모든 2진 상을 분류한다.
• 예를 들어 y² = x³ + s와 같은 타원곡선의 명시적 모델과 분할 다항식을 사용하여, 복소 공액이 E[4] 위에서 작용하는 방식을 계산하고, γ = ρE,2∞(c)를 4 모듈로로 결정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Q(j(E)) 위에서 복소 곱승을 가진 타원곡선 E에 대응하는 p진 갈루아 표현 ρE,p∞의 가능한 상은 GL(2, Zp) 내에서 동치류에 대해 무엇인가요? (단, OK,f는 정수환의 순서이다.)
• RQ2 ρE,p∞의 상은 Nδ,φ(p∞)와 어떻게 관련되어 있으며, 이 상이 Nδ,φ(p∞) 내에서 지수는 얼마인가요?
• RQ3 어떤 소수 p와 j-불변량에서 순환 문자 χE,p∞가 Z×p로 전사하며, 그 이미지의 지수가 2가 되는 경우는 언제인가요?
• RQ4 Q 위에서 복소 곱승을 가진 타원곡선에 대해 가능한 모든 2진 상의 목록은 무엇이며, j-불변량과 복소 공액에 따라 어떻게 달라지나요?
• RQ5 ρE,p∞의 상은 그 모듈로 p 축소와 어떻게 관련되어 있으며, 어떤 조건에서 ρE,p∞가 그 모듈로 p 상의 전체 역상이 되는가요?

주요 결과

• ρE,p∞의 상은 Nδ,φ(p∞)에 포함되며, 이 상이 Nδ,φ(p∞) 내에서 지수는 4 또는 6을 나누며, j(E) = 1728이면 지수가 정확히 2 또는 4이다.
• p > 2 이며 jK,f ≠ 0 또는 p > 3이면, p진 표현 ρE,p∞는 축소 사상 GL(2, Zp) → GL(2, Z/pZ) 하에서 그 모듈로 p 축소의 전체 역상이다.
• 모든 유한한 p를 제외한 모든 p에 대해 순환 문자 χE,p∞는 Z×p로 전사하며, 그 이미지의 지수가 2가 되는 것은 p ≡ 1 (mod 4) 이고 Q(√p) ⊆ Q(jK,f)일 때에만 성립한다.
• j(E) = 0이면 정확히 두 가지 가능한 2진 상이 존재한다: 하나는 지수 1(전체 N−1,1(2∞))이고, 다른 하나는 지수 3(C−1,1(2∞) 내의 유일한 세제곱 부분군)이며, 둘 다 실현된다.
• j(E) = 1728이면 2진 상은 Nδ,φ(2∞) 내에서 지수 2 또는 4이며, Q 위에서 가능한 28가지 2진 상의 전체 분류가 완료된다.
• 2진 상은 Gal(K(jK,f, E[2n])/K(jK,f, h(E[2n])))의 지수가 단위군 O×K,f 내에서 결정되며, 이 지수는 경우에 따라 1, 3 또는 4가 된다.