[논문 리뷰] Galois Representations with Quaternion Multiplications Associated to Noncongruence Modular Forms

A. O. L. Atkin, Wen-Ching Winnie Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 22.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{Q}$의 이중이중 확장 위에서 페어링을 갖는 비동형 촌점 형태의 슈올 표현을 갖는 4차원 $\rho_\ell$ 갈루아 표현의 자동성(auto-morphy)을 확립한다. 현대 모듈라리티 기법, 특히 세르의 추측과 타이트의 캄비언 정리(정리)를 활용하여 이러한 표현들이 $\mathrm{GL}_4(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ 위의 자동형 함수에서 유래됨을 증명하고, 비동형 및 동형 모듈라 형식의 계수를 연결하는 아틴-스위너턴다이어 합동식을 검증한다.

ABSTRACT

In this paper we study the compatible family of degree-4 Scholl representations $ρ_{\ell}$ associated with a space $S$ of weight $κ> 2$ noncongruence cusp forms satisfying Quaternion Multiplications over a biquadratic field $K$. It is shown that when either $K$ is totally real or $κ$ is odd, $ρ_\ell$ is automorphic, that is, its associated L-function has the same Euler factors as the L-function of an automorphic form for $GL_4(\mathbb Q)$. Further, it yields a relation between the Fourier coefficients of noncongruence cusp forms in $S$ and those of certain automorphic forms via the three-term Atkin and Swinnerton-Dyer congruences.

연구 동기 및 목표

• 비동형 촌점 형태에서 유도된 4차 슈올 표현이 $\mathbb{Q}$의 이중이중 확장 위에서 페어링을 갖는 경우의 자동성을 확립하는 것.
• 이 표현들이 텐서곱 구성과 모듈라리티 승격 기법을 통해 $\mathrm{GL}_4(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ 위의 자동형 함수에서 유래됨을 보여주는 것.
• 비동형 촌점 형태와 관련된 동형 모듈라 형식의 푸리에 계수 사이의 세 항목 아틴-스위너턴다이어 합동식을 검증하는 것.
• 특수한 경우로 $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 위에서 페어링을 갖는 새로운 사례를 포함한 이러한 자동형 상승의 구체적 예를 구성하는 것.
• 해당 갈루아 표현의 구조를 반영하는 $\rho_\ell^\text{new} \cong \eta \otimes \mathrm{Ind}_{G_{\mathbb{Q}(\sqrt{-2})}}^G \chi_{-2}^{-1}$를 만족하는 구체적 헤키 고유형식 $f$를 제공하는 것.

제안 방법

• 최근에 증명된 $\mathbb{Q}$ 위의 세르의 추측을 활용하여 기하학에서 유도된 2차원 $\ell$-진 표현의 모듈라리티를 확립한다.
• Tate의 캄비언 정리 $H^2(G, \mathbb{C}^\times) = 0$를 사용하여 유한 이미지를 갖는 프로젝티브 표현 $\tilde{\gamma}$를 일반 표현 $\gamma$로 상승시킨다.
• 표현 $\eta$가 모듈라리이고, $K$의 이중이중 필드의 이차 부분체 위에서 유한 특성으로 유도된 표현 $\gamma$와의 텐서곱 $\eta \otimes \gamma$으로 4차원 표현 $\rho_\ell$를 구성한다.
• 라마크리슈난의 결과를 적용하여 이 텐서곱 표현이 $\mathrm{GL}_4(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ 위의 자동형 표현에 대응함을 보인다.
• 비동형 형식에서 효과적이지 않은 헤키 연산자를 피하기 위해, 페어링을 갖는 표현에 적합하게 일반화된 Faltings-Serre 모듈라리티 기법을 적용한다.
• 구체적 헤키 연산자와 $\Gamma^1(6)$의 정규화군을 사용하여 $\mathbb{Q}(\sqrt{-2}, \sqrt{-3})$ 위에서 작용하는 페어링 연산자 $J_{-2}, J_{-3}$를 정의하고, 허문수 대수를 생성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중이중 필드 위에서 페어링을 갖는 4차 슈올 표현이 자동형임을 보일 수 있는가?
• RQ2 페어링을 갖는 비동형 촌점 형태의 공간에서 아틴-스위너턴다이어 합동식이 성립하는가?
• RQ3 이러한 비동형 형식과 관련된 갈루아 표현이 두 개의 2차원 모듈라 표현의 텐서곱으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 해당 슈올 표현의 자동형 상승을 실현하는 구체적 헤키 고유형식이 동형 공간에 존재하는가?
• RQ5 페어링 연산자 $J_{-2}, J_{-3}$의 구조는 갈루아 표현과 그 분해와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 무게 3인 비동형 촌점 형태 공간 $\langle F_1, F_5 \rangle$와 관련된 4차 슈올 표현 $\rho_\ell^\text{new}$는 자동형이며, $\mathrm{GL}_4(\mathbb{A}_\mathbb{Q})$ 위의 자동형 표현에 대응한다.
• $\rho_\ell^\text{new}$ 는 $\eta$가 동형부분군 위의 무게 3 신형식에서 유래된 바, $\eta \otimes \mathrm{Ind}_{G_{\mathbb{Q}(\sqrt{-2})}}^G \chi_{-2}^{-1}$ 와 동형임을 보여준다.
• 공간 $\langle F_1, F_5 \rangle$에 대해 아틴-스위너턴다이어 합동식이 수치적으로 검증되었으며, 프로베니우스의 특성다항식이 $\mathbb{Q}(\sqrt{-6})$, $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ 등에서 이차항으로 분해됨을 확인하였다.
• 해당 갈루아 표현의 계수를 반영하는 $S_3(\Gamma_0(576), (-6/\cdot))$ 내의 헤키 고유형식 $f(z)$가 구체적으로 구성되었으며, 이는 $i = \sqrt{-1}, j = \sqrt{2}, k = \sqrt{3}$ 를 포함한 에타乘의 선형조합으로 표현되며, 푸리에 계수가 갈루아 표현과 일치한다.
• $\mathbb{Q}_\ell \otimes \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ 위의 표현 공간은 $\mathbb{Q}(\sqrt{-2}, \sqrt{-3})$ 위에서 페어링을 갖는다. 이는 내부환의 대수적 구조를 확인한다.
• $p = 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$ 에 대해 프로베니우스의 특성다항식이 $\mathbb{Q}(\sqrt{-6}), \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ 등에서 계수를 갖는 이차항으로 분해되며, 이는 텐서곱 구조와 아틴-스위너턴다이어 합동식을 지지한다.