[논문 리뷰] Galois symmetries of fundamental groupoids and noncommutative geometry

A. B. Goncharov|ArXiv.org|2002. 08. 20.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 10인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 제1선형 공간에서 단위근을 제외한 경우에 대한 반복 적분의 모티브 히프 대수를 구축하며, 갈루아 대칭성을 포함하는 명시적 코프로덕트 공식을 수립한다. 이는 기본군의 군론적 대칭성을 기록한다. 이 코프로덕트가 비가환 다양체의 자기동형사상의 군 법칙과 대응됨을 증명하고, 모티브 다중다중로그리듬 히프 대수와의 연결을 통해 모듈라 형식과 연관지으며, 파인ман 적분과 믹스드 타이트 모티브에의 적용을 제시한다.

ABSTRACT

We define motivic iterated integrals on the affine line, and give a simple proof of the formula for the coproduct in the Hopf algebra of they make. We show that it encodes the group law in the automorphism group of certain non-commutative variety. We relate the coproduct with the coproduct in the Hopf algebra of decorated rooted planar trivalent trees - a planar decorated version of the Hopf algebra defined by Connes and Kreimer. As an application we derive explicit formulas for the coproduct in the motivic multiple polylogarithm Hopf algebra. We give a criteria for a motivic iterated integral to be unramified at a prime ideal, and use it to estimate from above the space spanned by the values of iterated integrals. In chapter 7 we discuss some general principles relating Feynman integrals and mixed motives.

연구 동기 및 목표

• 수체 F 위에서의 선형 공간에서의 반복 적분에 대한 모티브 히프 대수를 정의하고, 명시적 코프로덕트 구조를 제공한다.
• 이 히프 대수의 코프로덕트가 비가환 다양체의 자기동형사상 군과 관련이 있음을 규명한다.
• GL_m에 대한 모듈라 다양체와 연결된 $\mathbb{P}^1 - (\{0,\infty\} \cup \mu_N)$의 모티브 기본군 간의 연결 고리를 확립한다.
• 이 토대를 파인만 적분과 믹스드 모티브에 적용하여 수론과 양자장 이론 간의 깊은 연관성을 시사한다.
• 모티브 반복 적분에서 허지-테이트 주기로의 주기 사상이 전사임을 증명하고, 그 등급화된 경우에 대해 동형이 성립할 것임을 추측한다.

제안 방법

• 수체 F 위에서의 모티브 반복 적분 $\mathrm{I}^\mathcal{M}(a_0; a_1, \dots, a_{n+1})$를 수체 F 위의 히프 대수 $\mathcal{A}_\bullet(F)$ 내에서 구성한다.
• 텐서 대수의 분할을 이용한 $\mathcal{A}_\bullet(F) \cong T(\bigoplus_{n \geq 1} K_{2n-1}(F) \otimes \mathbb{Q})$의 동형을 통해 $\mathcal{A}_\bullet(F)$ 위의 코프로덕트 $\Delta$ 를 정의한다.
• 호지 실현에서 모티브 대수에서 주기 대수로의 자연스러운 전사 준동형사상 $p_\sigma: \mathcal{A}_\bullet(F) \to \mathcal{P}^\sigma_\bullet(F)$ 를 확립한다.
• $\varepsilon$ 에 대한 渐近 전개를 통한 발산 반복 적분의 정규화를 이용하여 $\mathbb{C}/\mathbb{Q}$ 내의 잘 정의된 주기를 정의한다.
• 콘스-크라이머 히프 대수의 평면 장식 버전을 이용해 모티브 히프 대수를 장식된 루트가 있는 평면 삼진 트리와 연결한다.
• 파인만 적분에 이 토대를 적용하기 위해 다중다중로그리듬과 믹스드 타이트 모티브와의 연결을 맺는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본군의 군론적 대칭성은 어떻게 모티브 반복 적분의 히프 대수에 포함될 수 있는가?
• RQ2 모티브 반복 적분 히프 대수의 코프로덕트 $\Delta$ 는 명시적으로 어떻게 기술될 수 있는가?
• RQ3 모티브 반복 적분은 $\mathcal{O}_{F,S}$ 위의 믹스드 타이트 모티브의 주기와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 모티브 다중다중로그리듬 히프 대수는 모티브 갈루아 군과 모듈라 형식을 어떻게 연결하는가?
• RQ5 주기 사상 $p_\sigma: \mathcal{A}_\bullet(F) \to \mathcal{P}^\sigma_\bullet(F)$ 는 추측된 바와 같이 동형이 될 수 있는가?

주요 결과

• 모티브 반복 적분 히프 대수의 코프로덕트 $\Delta$ 는 명시적으로 계산되었으며, 비가환 다양체의 자기동형사상 군의 법칙을 포함하고 있음이 입증되었다.
• 모티브 반복 적분 $\mathrm{I}^\mathcal{M}(a_0; a_1, \dots, a_{n+1})$ 는 $p_\sigma$ 를 통해 $\mathcal{P}^\sigma_\bullet(F)$ 내의 정규화된 주기 $\overline{\mathrm{I}}(\sigma(a_0); \sigma(a_1), \dots, \sigma(a_{n+1}))$ 로 사상된다.
• 히프 대수 $\mathcal{A}_\bullet(F)$ 는 텐서 대수 $T(\bigoplus_{n \geq 1} K_{2n-1}(F) \otimes \mathbb{Q})$ 와 동형이며, $K_{2n-1}(F)$ 는 차수 $n$ 에서 나타난다.
• 중량 $\leq n$ 인 주기의 공간 $\mathcal{P}^\sigma_n(\mathcal{O}_{F,S})$ 의 차원은 $\dim_\mathbb{Q} \mathcal{A}_n(\mathcal{O}_{F,S})$ 에 의해 상한으로 제한된다.
• 전사 주기 사상 $p_\sigma: \mathcal{A}_\bullet(\mathcal{O}_{F,S}) \to \mathcal{P}^\sigma_\bullet(\mathcal{O}_{F,S})$ 는 동형일 것이라 추측되며, 이는 상한이 정확하다는 것을 의미한다.
• 이 토대는 모티브 다중다중로그리듬 히프 대수의 코프로덕트에 대한 명시적 공식을 제공하며, 이는 $\mathbb{P}^1 - (\{0,\infty\} \cup \mu_N)$ 의 모티브 기본군의 구조와 연결된다.