[논문 리뷰] Galois Theory for Braided Tensor Categories and the Modular Closure

Michael Mueger|ArXiv.org|1998. 12. 07.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 14인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 이원이 비가역적이고 쌍대를 지닌 브레이드된 텐서 *-범주에 대한 갈로아 이론 프레임워크를 개발하며, 대칭 부분범주 S에 의해 확장되는 교차곱 구조 C ⋊ S를 도입한다. 주요 결과는 유리 브레이드 범주 C의 모듈라 클로처—D(비가역적 대상의 부분범주)를 이용해 C ⋊ D로 정의됨—이 모듈라 범주임을 보여주며, 이는 SL(2,Z)의 유니터리 표현을 유도하고, 갈로아 군의 닫힌 부분군과 중간 범주 사이의 갈로아 대응을 확립한다.

ABSTRACT

Given a braided tensor *-category C with conjugate (dual) objects and irreducible unit together with a full symmetric subcategory S we define a crossed product C times S. This construction yields a tensor *-category with conjugates and an irreducible unit. (A *-category is a category enriched over Vect_C with positive *-operation.) A Galois correspondence is established between intermediate categories sitting between C and C times S and closed subgroups of the Galois group Gal(C times S/C)=Aut_C(C times S) of C, the latter being isomorphic to the compact group associated to S by the duality theorem of Doplicher and Roberts. Denoting by D\subset C the full subcategory of degenerate objects, i.e. objects which have trivial monodromy with all objects of C, the braiding of C extends to a braiding of C times S iff S\subset D. Under this condition C times S has no degenerate objects iff S=D. If the original category C is rational (i.e. has only finitely many equivalence classes of irreducible objects) then the same holds for the new one. The category C times D is called the modular closure of C since in the rational case it is modular, i.e. gives rise to a unitary representation of the modular group SL(2,Z). (In passing we prove that every braided tensor *-category with conjugates automatically is a ribbon category, i.e. has a twist.) If all simple objects of S have dimension one the structure of the category C times S can be clarified quite explicitly in terms of group cohomology.

연구 동기 및 목표

• 이원이 비가역적이고 쌍대를 지닌 브레이드된 텐서 *-범주로 갈로아 이론을 확장하기 위해.
• 군 작용을 텐서 범주에서 일반화하는 교차곱 구조 C ⋊ S를 정의하기 위해.
• 갈로아 군 Aut_C(C ⋊ S)의 닫힌 부분군과 중간 범주 사이의 갈로아 대응을 확립하기 위해.
• 브레이드가 교차곱 C ⋊ S로 어떻게 확장되는지 특성화하며, S ⊆ D(비가역적 대상)일 때에만 확장됨을 보여주기 위해.
• 유리 브레이드 범주의 모듈라 클로처를 C ⋊ D로 정의하고, 이것이 모듈라임을 증명하기 위해.

제안 방법

• 브레이드된 텐서 *-범주 C와 전체 대칭 부분범주 S에 대해 교차곱 범주 C ⋊ S를 정의한다.
• 도플러처-로버츠의 쌍대 정리를 사용하여 갈로아 군 Gal(C ⋊ S / C)을 S와 관련된 컴acts 군과 동일시한다.
• 중간 범주 C ⊆ K ⊆ C ⋊ S와 갈로아 군의 닫힌 부분군 사이의 갈로아 대응을 확립한다.
• 모든 대상과의 모노드로미가 자명한 대상들로 구성된 부분범주 D로 비가역적 대상을 특성화한다.
• C의 브레이드가 C ⋊ S로 확장될 수 있음이 S ⊆ D일 때에만 성립함을 증명한다.
• C ⋊ D가 비가역적 대상을 지니지 않음이 S = D일 때에만 성립하며, 이 경우 C가 유리일 때 C ⋊ D는 모듈라임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 갈로아 이론은 어떻게 이원이 비가역적이고 쌍대를 지닌 브레이드된 텐서 *-범주로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 브레이드된 범주의 브레이드가 교차곱 범주 C ⋊ S로 확장되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 갈로아 군 Gal(C ⋊ S / C)의 구조는 무엇이며, 이는 범주 S와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 특히 유리 경우에, 교차곱 C ⋊ S가 언제 모듈라가 되는가?
• RQ5 비가역적 대상의 부분범주 D는 모듈라 클로처를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• C가 이러한 성질을 지니고 있고 S가 전체 대칭 부분범주이면, 교차곱 C ⋊ S는 쌍대를 지닌 텐서 *-범주이자 이원이 비가역적임을 보장한다.
• 중간 범주 K에 대해 C ⊆ K ⊆ C ⋊ S와 갈로아 군 Gal(C ⋊ S / C)의 닫힌 부분군 사이에 갈로아 대응이 존재하며, 이 갈로아 군은 도플러처-로버츠 쌍대를 통해 S와 관련된 컴acts 군과 동형이다.
• C의 브레이드가 C ⋊ S로 확장될 수 있음이 S ⊆ D일 때에만 성립하며, 여기서 D는 모든 C의 대상과의 모노드로미가 자명한 대상들의 전체 부분범주이다.
• C ⋊ D가 비가역적 대상을 지니지 않음이 S = D일 때에만 성립하며, 이 경우 C가 유리일 때 C ⋊ D는 모듈라이다.
• C가 유리일 경우, 모듈라 클로처 C ⋊ D는 모듈라이며 SL(2,Z)의 유니터리 표현을 유도한다.
• 모든 쌍대를 지닌 브레이드된 텐서 *-범주는 자동으로 리본 범주이자, 항등 대상의 자동형사상이 있는 뚜렷한 구조를 지닌다.