[논문 리뷰] Galois theory for H-extensions

Marcin Szamotulski|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 29.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 A와 H가 모두 평탄한 미탈레프러 모듈이라는 조건 하에, H-코모듈 대수 A의 부분대수와 호프 대수 H의 일반화된 몫 사이의 갈로아 대응을 수립한다. 이는 샤우엔부르그의 적합한 대상 이론을 더 넓은 범주론적 및 비가환적 맥락으로 일반화하며, H-갈로아 코확장이 닫혀 있음을 증명하고, A = H인 경우에 대해 이에 대한 전단사 갈로아 대응이 성립하는 필요충분조건을 코링 이론적 방법과 비가환 맥락에서의 표준 사상들을 사용하여 제시한다.

ABSTRACT

We show that there exists a Galois correspondence between subalgebras of an H-comodule algebra A over a base ring R and generalised quotients of a Hopf algebra H if both A and H are flat Mittag--Leffler modules. We also provide new criteria for subalgebras and generalised quotients to be closed elements of the Galois connection constructed. We generalise the Schauenburg theory of admissible objects to this more general context. Then we consider coextensions of H-module coalgebras. We construct a Galois connection for them and we prove that H-Galois coextensions are closed. We apply the results obtained to the Hopf algebra itself and we give a simple proof that there is a bijective correspondence between right ideal coideals of H and its left coideal subalgebras when H is finite dimensional. Furthermore, we formulate a necessary and sufficient condition for a bijective Galois correspondence for A=H. We also consider crossed product algebras.

연구 동기 및 목표

• 기본 환 R 위에서 H-코모듈 대수로의 샤우엔부르그의 적합한 대상 이론을 더 넓은 범주론적 및 비가환적 맥락으로 일반화하기.
• H-코모듈 대수 A의 부분대수와 호프 대수 H의 일반화된 몫 사이의 갈로아 대응을 수립하기.
• 갈로아 연결에서 부분대수와 일반화된 몫이 닫힌 원소가 되기 위한 새로운 기준을 제시하기.
• H-모듈 코대수의 코확장 이론으로 이론을 확장하고, H-갈로아 코확장이 닫힌 원소임을 증명하기.
• 결과를 호프 대수 H 자체에 적용하여, H가 유한차원일 경우 오른쪽 이상의 코이델 서브대수와 왼쪽 코이델 부분대수 사이의 전단사 대응을 증명하기.

제안 방법

• A의 부분대수 라티스와 H의 일반화된 몫 라티스 사이의 갈로아 연결 (Φ, Ψ)을 구성하기.
• 표준 사상 can: A ⊗_R A → A ⊗ H를 정의하고, 갈로아 확장의 성질을 분석하기.
• Homk(H, A)를 통한 코링 접근법을 사용하고, Θ 및 Υ 사상들을 통해 닫힌 원소를 연구하기.
• 서브오브제크트 라티스에서의 교차의 평탄성과 안정성을 확보하기 위해 미탈레프러 조건을 적용하기.
• H의 서브오브제크트와 H*의 몫 사이의 쌍대성 관계를 활용하여 H-갈로아 확장과 H*-갈로아 확장 간의 연관성을 규명하기.
• 표준 사상이 동형사상이고 A가 도메인이며 H의 작용이 단사일 경우, Quot(Homk(H, A))에서 Homk(K, A)가 몫 라티스에서 닫힌 원소임을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 H-코모듈 대수 A의 부분대수와 호프 대수 H의 일반화된 몫 사이의 갈로아 대응이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 갈로아 연결에서 부분대수와 일반화된 몫이 닫힌 원소가 되기 위한 기준은 무엇인가?
• RQ3 샤우엔부르그의 적합한 대상 이론은 기저 환 R 위에서 H-코모듈 대수의 맥락으로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ4 A = H일 때 갈로아 대응이 전단사가 되는 조건은 무엇이며, 그 필요충분조건은 무엇인가?
• RQ5 표준 사상의 성질과 H가 A에 작용하는 방식은 부분대수와 몫의 닫힘성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• A와 H가 모두 평탄한 미탈레프러 모듈일 경우, H-코모듈 대수 A의 부분대수와 호프 대수 H의 일반화된 몫 사이에 갈로아 대응이 존재한다.
• A가 도메인이고 H의 작용이 단사일 경우, 부분대수 S ⊆ A가 갈로아 연결에서 닫힌 원소임은 표준 사상 canS: A ⊗_S A → A ⊗ Ψ(S) A 가 동형사상임과 동치이다.
• H-모듈 코대수의 H-갈로아 코확장은 갈로아 연결에서 닫힌 원소이며, 이는 고전적 결과를 코대수 맥락으로 일반화한 것이다.
• H가 유한차원일 경우, H의 오른쪽 이상의 코이델 서브대수와 H의 왼쪽 코이델 부분대수 사이에 전단사 대응이 존재하며, 이는 쌍대성과 표준 사상에 의해 증명된다.
• 서브오브제크트 K ⊆ H에 대해 표준 사상 canK 가 동형사상일 경우, Quot(Homk(H, A))에서 Homk(K, A)는 닫힌 원소이며, K는 Subgen(H)에서 닫힌 원소이다.
• 표준 사상 canH 가 동형사상임과 canH* 가 동형사상임은 동치이며, 이 조건이 성립할 경우 주어진 가정 하에 모든 서브오브제크트 K ⊆ H에 대해 canK 가 동형사상이 된다.